Краткое введение в дробный анализ на основе оператора Адамара. Чуриков В.А. - 61 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ТПУ | Томск

Составители: 

Рубрика: 

61
1 1/ 2 1 1/ 2 1 1/ 2
3/2 3/2 3/2
(1) 1 ( 1/2 1)
:1
( 1/2 1) (1/2) ( 1 1/2 1)
1 (1/2) 1 1
0.
(1/2) ( 1/2) ( 1/2)
2
d x d x d x x x
x x x

Другой пример воздействия оператора дифференцирования на поли-
ном интегрирования
1
1/2
1/2 1/ 2 1/2
1/2
: ( ) 0,
: ( ) :0 0.
d x C x
d x d x C x d x
Из сказанного, можно сформулировать и более общую теорему.
Теорема. Воздействие произведения двух операторов d
s
x и d
r
x на
функцию f(x) не коммутативно
d
s
x·d
r
x:f(x) ≠ d
r
x·d
s
x:f(x).
Рассмотрим случаи, когда коммутативность возможна.
Теорема. Воздействие произведения двух операторов d
s
x и d
r
x на
степенную функцию x
q
некоммутативно когда одновременно выполняются
неравенства q + s ≠ –1, –2, –3 …, q + r ≠ –1, –2, –3 …, q + s+ r ≠ –1, –2, –
3 …
Для операторов целочисленного порядка выполняются более про-
стые соотношения.
Теорема. Композиция и декомпозиция операторов Адамара с цело-
численными порядками при их воздействии функции выполняется равен-
ство
d
n
x·d
m
x:f(x) = d
m+n
x:f(x).
Теорема. Операторы с целочисленными порядками коммутируют с
точностью до сложения с полиномом интегрирования
d
n
x·d
m
x:f(x) = d
m
x·d
n
x:f(x).
Эти утверждения верны по причине попадания сумм порядков опе-
раторов дифференцирования в полюсах гамма-функции.

Страницы