ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
∫ ∫
−= vduuvudv . (3.1)
С помощью данной формулы вычисление исходного интеграла сводится
к вычислению другого интеграла, который может оказаться более простым,
чем исходный, или даже табличным. При применении формулы
интегрирования по частям подынтегральное выражение представляют в виде
произведения двух множителей
u
и
dv
. При этом через
u
обычно
обозначают функцию, производная которой проще, чем сама функция
u
. В
частности, через
u
обозначают многочлен, если под интегралом стоит
произведение многочлена на одну из функций
x
a
α
,
x
e
α
, x
β
sin , x
β
cos .
В случае когда под интегралом стоят логарифмическая функция или одна из
обратных тригонометрических функций:
xarcsin
,
x
arccos
,
arctgx
,
arcctgx
, то их и обозначают через
u
.
Иногда формулу интегрирования по частям приходится применять
несколько раз.
Пример 1.3.
(
)
∫
− xdxx 2cos3 .
Решение. Введем обозначения
3
−
=
xu
, xdxdv 2cos
=
. Для
применения формулы интегрирования по частям требуется найти
du
и
v
:
dxdu
=
, xxdxv 2sin
2
1
2cos =
∫
= . (Берем только одно значение
неопределенного интеграла.) Подставим в формулу (3.1) и найдем
полученный интеграл:
( ) ( )
∫
+
−
=−−=
∫
− x
x
xdxxxxdxx 2sin
2
3
2sin
2
1
2sin
2
1
32cos3
C
x
++
4
2cos
.
В дальнейшем решение будем записывать кратко:
( )
=
∫
===
=−=
=
∫
−
2
2sin
2cos2cos
3
2cos3
x
xdxvxdv
dxduxu
xdxx
( ) ( )
C
xx
xxdx
x
x ++−
∫
=−−=
4
2cos
2
2sin
32sin
2
1
2
2sin
3 .
Пример 2.3.
(
)
dxexxI
x
∫
++= 1
2
.
Решение.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 14
- 15
- 16
- 17
- 18
- …
- следующая ›
- последняя »
