ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
5.3.
(
)
∫
dxtgxR или подынтегральная функция содержит
x
cos
и
xsin
только в четных степенях, то применяется подстановка
2
1
,,
t
dt
dxarctgtxtgxt
+
=== ,
,
1
1
1
1
cos
22
2
txtg
x
+
=
+
=
2
2
2
2
2
11
sin
t
t
xtg
xtg
x
+
=
+
=
.
После подстановки получим интеграл от рациональной функции.
Пример 3.5.
∫
+
x
dx
2
sin
1
.
Решение.
( )
∫
=
+
++
=
+
==
+
==
=
∫
+
2
2
2
2
2
2
2
2
1
11
1
1
sin
sin1
t
t
t
dt
t
dt
dxarctgtx
t
t
xtgxt
x
dx
( )
(
)
(
)
CtgxarctgCtarctg
t
dt
t
dt
+=+
∫
=
+
∫
=
+
= 2
2
1
2
2
1
12
12
22
.
*Замечание. В частности, данную подстановку целесообразно применять
к интегралам вида
∫
+++
d
x
c
x
x
b
x
a
dx
22
cos
cos
sin
sin
.
5.4. Рассмотрим интеграл вида
∫
xdxx
nm
cossin
(
)
Znm ∈, .Возможны три различных случая.
1.
∫
xdxx
nm
cossin , где m и n таковы, что по крайней мере
одно из них нечетное. Для определенности пусть n – нечетное, то есть его
можно записать в виде 12
+
=
pn . Преобразуем интеграл:
=
∫
=
∫
=
∫
+
xdxxxxdxxxdxx
pmpmnm
coscossincossincossin
212
(
)
(
)
∫
−=
∫
=
=
=−= dttt
xdxdt
xt
xdxxx
p
m
p
m 22
1
cos
sin
cossin1sin
.
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 35
- 36
- 37
- 38
- 39
- …
- следующая ›
- последняя »
