ВУЗ:
Составители:
Рубрика:
9. 2. Вычисление длины дуги кривой
Пусть кривая на плоскости задана уравнением
(
)
xfy = , где
(
)
xf -
непрерывно дифференцируемая функция для всех
x
:
bxa
≤
≤
. Тогда
длина
l
дуги кривой, заключенной между точками с абсциссами, равными
a
и
b
, вычисляется по формуле:
()
[ ]
∫
′
+=
b
a
dxxfl
2
1 . (9.8)
В случае задания кривой уравнением
(
)
yx ϕ= , где dyc
≤
≤
,
длина
l
дуги кривой, заключенной между точками с ординатами равными,
c
и
d
, вычисляется по формуле:
()
[ ]
∫
′
+=
d
c
dyyl
2
1 ϕ . (9.9)
Если кривая задана параметрическими уравнениями
(
)
()
()
[ ]
∈≥
=
=
21
,,0
,
,
tttty
tyy
txx
,
где
(
)
tx и
(
)
ty - непрерывные вместе со своими производными функции и
(
)
(
)
btxatx ==
21
, , то длина дуги кривой находится по формуле:
()
[ ]
()
[ ]
∫
′
+
′
=
2
1
22
t
t
dttytxl . (9.10)
Пусть кривая задана уравнением в полярных координатах
(
)
ϕrr = ,
β
ϕ
α
≤
≤
. Предполагаем, что
(
)
ϕr и
(
)
ϕr
′
непрерывны на сегменте
[
]
βα, . В этом случае длина кривой вычисляется по формуле:
[]
∫
′
+=
β
α
ϕdrrl
2
2
. (9.11)
Пример 6.9. Вычислить длину дуги кривой xy sinln
=
от
2
1
π
=x до
3
2
2
π
=x (см. рис. 9.11).
3
2
2
π
π
π
x
y
О
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 70
- 71
- 72
- 73
- 74
- …
- следующая ›
- последняя »
