Уравнения математической физики. Сборник задач. Даишев Р.А - 13 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

U(r, t) =
(r − at)ϕ(r − at) + (r + at)ϕ(r + at)
2r
+
1
2ar
r+at
Z
r−at
ρψ(ρ)dρ
U(x, y) = ϕ(
x − t
2
) + ψ(
x + t
2
) − ϕ(0).
U(x, y) =
α(x − t) + β(x + t) x − t = 0
U(x, t)|
t−x=o
= ψ(x) = α(0) + β(2x),
x + t = 0 U(x, t)|
t+x=o
= ϕ(x) = α(2x) + β(0). x = 0
ϕ(0) = ψ(0) = α(0) + β(0).
2x → x−t 2x → x+t
α(x − t) + β(0) = ϕ(
x − t
2
),
α(0) + β(x + t) = ψ(
x + t
2
).
α(x −t) + β(0) + α(0) + β(x + t) = ϕ(
x−t
2
) + ψ(
x+t
2
).
U(x, y) = ϕ(
x − t
2
) + ψ(
x + t
2
) − β(0) − α(0).
U(x, y) = ϕ
µ
5x − y
4
+ ϕ
µ
y − x
4
− ϕ(0).
22.
                                                       r+at
           (r − at)ϕ(r − at) + (r + at)ϕ(r + at)    1 Z
U (r, t) =                                       +         ρψ(ρ)dρ
                            2r                     2ar
                                                      r−at

23.
                           x−t         x+t
              U (x, y) = ϕ(     ) + ψ(     ) − ϕ(0).
                            2           2
   Ð å ø å í è å. Ïîäñòàâëÿÿ â îáùåå ðåøåíèå óðàâíåíèÿ U (x, y) =
α(x − t) + β(x + t) çíà÷åíèå íà õàðàêòåðèñòèêå x − t = 0, ïîëó-
÷èì U (x, t)|t−x=o = ψ(x) = α(0) + β(2x), è íà õàðàêòåðèñòèêå
x + t = 0: U (x, t)|t+x=o = ϕ(x) = α(2x) + β(0). Ïðè x = 0 èç
ýòèõ ñîîòíîøåíèé ñëåäóåò ϕ(0) = ψ(0) = α(0) + β(0). Çàìåíÿÿ â
ïåðâîì ñîîòíîøåíèè 2x → x−t, à âî âòîðîì 2x → x+t, ïîëó÷èì
                                            x−t
                   α(x − t) + β(0) = ϕ(         ),
                                             2
                                      x+t
                   α(0) + β(x + t) = ψ(    ).
                                        2
Ñóììèðóÿ ïðàâûå è ëåâûå ÷àñòè ýòèõ ñîîòíîøåíèé, ïðèäåì ê
ñîîòíîøåíèþ α(x − t) + β(0) + α(0) + β(x + t) = ϕ( x−t
                                                    2
                                                       ) + ψ( x+t
                                                               2
                                                                  ).
Îòêóäà
                          x−t        x+t
          U (x, y) = ϕ(       ) + ψ(     ) − β(0) − α(0).
                           2          2
24.                       µ       ¶     µ       ¶
                        5x − y    y−x
           U (x, y) = ϕ        +ϕ     − ϕ(0).
                          4        4




                                  13

Страницы