Уравнения математической физики. Сборник задач. Даишев Р.А - 19 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

t > 0.
U
t
= a
2
U
xx
, a
2
=
λ
cρ
, 0 < x < l, 0 < t < ∞,
U(0, t) = U(l, t) = 0, 0 < t < ∞,
U(x, 0) = f(x), 0 < x < l,
U(x, t) =
∞
X
n=1
a
n
e
−
a
2
π
2
n
2
l
2
t
sin
nπx
l
,
a
n
=
2
l
l
Z
0
f(x) sin
πnx
l
dx.
f(x) = U
0
= const,
U(x, t) =
4U
0
π
∞
X
k=0
1
2k + 1
e
−
a
2
π
2
(2k+1)
2
l
2
t
sin
(2k + 1)πx
l
.
U(x, t) =
4U
0
π
2
e
−
π
2
a
2
l
2
t
sin
πx
l
1
2
−
e
−
3
2
π
2
a
2
l
2
t
sin
3πx
l
3
2
+
e
−
5
2
π
2
a
2
l
2
t
sin
5πx
l
5
2
− ...
.
U(x, t) =
8c
π
3
∞
X
n=0
1
(2n + 1)
2
exp
Ã
−
(2n + 1)
2
π
2
a
2
l
2
t
!
sin
(2n + 1)πx
l
.
ëèòü òåìïåðàòóðó ëþáîé òî÷êè âíóòðè ñôåðû â ëþáîé ìîìåíò
âðåìåíè t > 0.

                         ÎÒÂÅÒÛ È ÓÊÀÇÀÍÈß.

32. Ðåøåíèåì êðàåâîé çàäà÷è

                                          λ
         Ut = a2 Uxx ,             a2 =      ,         0 < x < l,               0 < t < ∞,
                                          cρ

                 U (0, t) = U (l, t) = 0,                               0 < t < ∞,
                        U (x, 0) = f (x),                        0 < x < l,
ÿâëÿåòñÿ                                 ∞
                                         X                 a2 π 2 n2           nπx
                     U (x, t) =                   an e−       l2
                                                                     t
                                                                         sin       ,
                                         n=1                                    l
                                              l
                                 2Z           πnx
                            an =    f (x) sin     dx.
                                 l             l
                                          0

Åñëè f (x) = U0 = const, òî
                           ∞
                       4U0 X    1       a2 π 2 (2k+1)2       (2k + 1)πx
       U (x, t) =                    e−         l2
                                                       t
                                                         sin            .
                        π k=0 2k + 1                              l

33.
                         2 a2                             2 π 2 a2                         2 π 2 a2
                                                                                                                          
                     −π        t         πx           −3            t         3πx       −5           t         5πx
             4U0  e      l2       sin    l
                                                   e         l2         sin    l
                                                                                        e     l2         sin    l         
U (x, t) =                                   −                                     +                                − ... .
              π2             12                                  32                               52

34.
             ∞
                                                  Ã                                 !
          8c X      1            (2n + 1)2 π 2 a2       (2n + 1)πx
U (x, t) = 3             2
                           exp −         2
                                                  t sin            .
          π n=0 (2n + 1)               l                     l

                                                      19

Страницы