Уравнения математической физики. Сборник задач. Даишев Р.А - 20 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

U(x, t) =
∞
X
k=1
A
k
e
−
(2k−1)
2
π
2
a
2
4l
2
t
sin
(2k − 1)πx
2l
,
A
k
=
2
l
l
Z
0
f(x) sin
(2k − 1)πx
2l
dx.
U(x, t) =
4U
0
π
∞
X
k=1
cos
π(2k−1)
4
2k − 1
e
−
(2k−1)
2
π
2
a
2
4l
2
t
sin
(2k − 1)πx
2l
.
U(x, t) =
a
0
2
+
∞
X
n=1
a
n
e
−
n
2
π
2
a
2
l
2
t
cos
nπx
l
,
a
n
=
2
l
l
Z
0
f(x) sin
πnx
l
dx.
U(r, t) =
2
Rr
∞
X
n=1
e
−
n
2
π
2
a
2
R
2
t
sin
nπr
R
R
Z
0
ρf(ρ) cos
nπρ
R
dρ.
∂v
∂t
= a
2
∂
2
v
∂r
2
,
v = rU, a =
q
k
cρ
,
v (0, t) = 0, v (R, t) = 0, v (r, 0) = rf (r) .
35.                       ∞
                          X                  (2k−1)2 π 2 a2           (2k − 1)πx
            U (x, t) =         Ak e−             4l2
                                                            t
                                                                sin              ,
                         k=1                                              2l
                                        l
                           2Z           (2k − 1)πx
                      Ak =    f (x) sin            dx.
                           l                2l
                                    0

36.
                       ∞
                   4U0 X cos π(2k−1)    (2k−1)2 π 2 a2       (2k − 1)πx
      U (x, t) =                4
                                     e−     4l2
                                                       t
                                                         sin            .
                    π k=1 2k − 1                                 2l

37.                                ∞
                              a0 X         n2 π 2 a2 nπx
                U (x, t) =      +     an e− l2 t cos     ,
                              2   n=1                 l
                                                l
                               2Z           πnx
                          an =    f (x) sin     dx.
                               l             l
                                            0

38.
                                                                 R
                  2 X ∞      2 2 2
                          − n π 2a t     nπr Z            nπρ
       U (r, t) =        e    R      sin       ρf (ρ) cos     dρ.
                  Rr n=1                  R                R
                                                                 0

   Ó ê à ç à í è å. Çàäà÷à ïðèâîäèòñÿ ê èíòåãðèðîâàíèþ óðàâ-
íåíèÿ
                          ∂v     ∂ 2v
                             = a2 2 ,
                          ∂t     ∂r
                         q
                             k
ãäå   v = rU,       a=       cρ
                                ,           ïðè óñëîâèÿõ:

           v (0, t) = 0,       v (R, t) = 0,                    v (r, 0) = rf (r) .




                                                    20

Страницы