Уравнения математической физики. Сборник задач. Даишев Р.А - 25 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

a
n
= −
2
l
l
Z
0
u(z, 0) sin
(2n + 1)πz
2l
dz,
b
n
= −
4ν
(2n + 1)πa
l
Z
0
u
t
(z, 0) sin
(2n + 1)πz
2l
dz.
u(x, t) = Im
(
A(α − iβ)
ES(α
2
+ β
2
)
e
(α+iβ)x
− e
−(α+iβ)x
e
(α+iβ)l
− e
−(α+iβ)e
iωt
)
,
α + iβ =
√
ω
2
− 2νωi
a
=
1
a
s
√
ω
4
+ 4ν
2
ω
2
+ ω
2
2
−
−
i
a
s
√
ω
4
+ 4ν
2
ω
2
− ω
2
2
.
U
tt
= a
2
U
xx
− 2νU
t
+ g, 0 < x < l , 0 < t < ∞, (1)
U(0, t) = U(l , t) = 0, 0 < t < ∞, U
t
(x, 0) = 0
U(x, 0) =
(
h
x
0
x, 0 < x < x
0
;
h(l−x)
l−x
0
, x
0
< x < l .
w(x)
w(0) = w(l) = 0.
w
0 = a
2
d
2
w
dx
2
+ g, 0 < x < l,
w(x) = −
g
2a
2
x
2
+ C
1
x + C
2
.
                                   l
                        2Z             (2n + 1)πz
                 an = −    u(z, 0) sin            dz,
                        l                  2l
                               0

                              Z                l
                       4ν                     (2n + 1)πz
            bn = −              ut (z, 0) sin            dz.
                   (2n + 1)πa                     2l
                                           0
Óñòàíîâèâøèåñÿ êîëåáàíèÿ îïðåäåëÿþòñÿ ôîðìóëîé
                         (                                                       )
                       A(α − iβ) e(α+iβ)x − e−(α+iβ)x
         u(x, t) = Im                                                                  ,
                      ES(α2 + β 2 ) e(α+iβ)l − e−(α+iβ)eiωt
ãäå                                                      s√
                     √
                         ω2   − 2νωi   1                      ω 4 + 4ν 2 ω 2 + ω 2
          α + iβ =                   =                                             −
                              a        a                             2
                        s√
                      i    ω 4 + 4ν 2 ω 2 − ω 2
                    −                           .
                      a           2
43. Ð å ø å í è å. Èìååì êðàåâóþ çàäà÷ó

      Utt = a2 Uxx − 2νUt + g,                     0 < x < l,     0 < t < ∞,               (1)

U (0, t) = U (l, t) = 0,      0 < t < ∞,                 Ut (x, 0) = 0.
                                       (     h
                                            x0
                                               x,        0 < x < x0 ;
                   U (x, 0) =              h(l−x)
                                            l−x0
                                                  ,      x0 < x < l.
Èùåì ñíà÷àëà ñòàöèîíàðíîå ðåøåíèå w(x) óðàâíåíèÿ (1), óäî-
âëåòâîðÿþùåå íà÷àëüíûì óñëîâèÿì w(0) = w(l) = 0. Ïîäñòàâ-
ëÿÿ w â (1), ïîëó÷èì

                                   d2 w
                      0 = a2            + g,             0 < x < l,
                                   dx2
îòêóäà
                                            g 2
                      w(x) = −                 x + C1 x + C2 .
                                           2a2

                                                    25

Страницы