Уравнения математической физики. Сборник задач. Даишев Р.А - 27 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

U(x, t) = U
0
µ
1 −
x
l
cos ωt −
2U
0
π
∞
X
k=1
1
k
e
−
k
2
π
2
a
2
l
2
t
sin
kπx
l
.
U
t
= a
2
U
xx
U(x, t)|
t=0
= ϕ(x)
U
x
(0, t) = 0, U(l, t) = U
0
> 0
v(x, t) = U(x, t) − u(x, t), u(x, t)
U(x, t) =
U
0
x
2
l
v(x, t) = U(x, t) −
U
0
x
2
l
.
v(x, t)
v
t
= a
2
v
xx
+
2U
0
a
2
l
2
v(x, t)|
t=0
= ϕ(x) −
2U
0
x
2
l
2
v
x
(0, t) = 0, v(l, t) = 0.
v(x, t) = X(x)T (t)
X(x)
X
00
(x) + λ
2
X(x) = 0.
C
1
6= 0, C
2
= 0, λ =
(2k−1)π
2l
,
X
k
= cos
(2k−1)πx
2l
, (k = 1, 2, ...).
v v(x, t) =
∞
P
k=1
b
k
(t) cos
(2k−1)πx
2l
.
v
46.
                      µ        ¶              ∞
                             x            2U0 X  1 − k2 π22 a2 t     kπx
      U (x, t) = U0       1−     cos ωt −          e l           sin     .
                             l             π k=1 k                    l

47. Ð å ø å í è å çàäà÷è Ut = a2 Uxx ñ íà÷àëüíûìè óñëî-
âèÿìè U (x, t)|t=0 = ϕ(x) è íåîäíîðîäíûìè ãðàíè÷íûìè óñëîâè-
ÿìè Ux (0, t) = 0, U (l, t) = U0 > 0 ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ çàäà-
÷è ñ îäíîðîäíûìè ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿìè, åñëè ñäåëàòü çàìå-
íó v(x, t) = U (x, t) − u(x, t), ãäå u(x, t) - ëþáàÿ ôóíêöèÿ, óäî-
âëåòâîðÿþùàÿ ãðàíè÷íîìó óñëîâèþ.  ÷àñòíîñòè, ìîæíî âçÿòü
               2                                                    2
U (x, t) = U0lx , òàê,÷òî çàìåíà èìååò âèä v(x, t) = U (x, t) − U0lx .
Ôóíêöèÿ v(x, t) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ:

                                               2U0 a2
                               vt = a2 vxx +
                                                 l2
                                                                 2
ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì v(x, t)|t=0 = ϕ(x) − 2Ul02x è îäíîðîäíûì
ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì vx (0, t) = 0, v(l, t) = 0. Íàõîäèì ñèñòå-
ìó ñîáñòâåííûõ ôóíêöèé îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ, óäîâëåòâî-
ðÿþùèõ îäíîðîäíûì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì. Ðåøàÿ îäíîðîäíîå
óðàâíåíèå ìåòîäîì ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ v(x, t) = X(x)T (t),
ïîëó÷èì äëÿ îïðåäåëåíèÿ X(x):

                              X 00 (x) + λ2 X(x) = 0.

Íåòðèâèàëüíîå ðåøåíèå ïîëó÷èì ïðè C1 6= 0, C2 = 0, λ = (2k−1)π
                                                             2l
                                                                   ,
                                          (2k−1)πx
à ñîáñòâåííûå ôóíêöèè èìåþò âèä: Xk = cos    2l
                                                   , (k = 1, 2, ...).
                                                           ∞
                                                           P
Ôóíêöèþ v èùåì â âèäå ðÿäà:                    v(x, t) =         bk (t) cos (2k−1)πx
                                                                               2l
                                                                                     .
                                                           k=1
Ïîäñòàâëÿÿ ýòî âûðàæåíèå â èñõîäíîå óðàâíåíèå äëÿ v , ðàçëà-
ãàÿ íåîäíîðîäíûé ÷ëåí â ðÿä Ôóðüå ïî òîé æå ñèñòåìå ôóíê-

                                        27

Страницы