Уравнения математической физики. Сборник задач. Даишев Р.А - 29 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

v(x, t) = U(x, t)−
³
1 +
x
2
´
,
∂v
∂t
+ 6v −3
∂
2
v
∂x
2
= −6 − 3x,
v(0, t) = v(2, t) = 0
v(x, t)|
t=0
= x
2
− 2x.
U(r, t) =
Q
6k
³
R
2
− r
2
´
+
2QR
3
krπ
3
∞
X
n=1
(−1)
n
n
3
e
−
n
2
a
2
π
2
R
2
t
sin
nπr
R
.
∂U
∂t
= a
2
Ã
∂
2
U
∂r
2
+
2
r
∂U
∂r
!
+
Q
cρ
U(r, t)|
t=0
= 0,
U(R, t) = 0, U(r, t)|
r=0
a
2
=
k
cρ
.
U(r, t) =
∞
X
k=1
A
k
Rλ
k
cos λ
k
(r − R) + sin λ
k
(r − R)
r
e
−λ
2
k
a
2
t
,
λ
1
, λ
2
, λ
3
, ...
(1 − 2Rh + 2λ
2
R
2
) sin λR = (1 + 2Rh)Rλ cos λR,
A
k
=
3R
3
λ
2
k
(1 + 2Rh)U
0
(1 + R
2
λ
2
k
)[(1 + 2Rh)R
2
λ
2
k
+ (2Rh + 2R
2
λ
2
k
− 1) sin
2
λ
k
R]
.
∂U
∂t
= a
2
Ã
∂
2
U
∂r
2
+
2
r
∂U
∂r
!
∂U
∂r
|
r=R
= 0,
∂U
∂r
+ hU|
r=2R
= 0, U(r, 0) = U
0
.
                                                         ³         ´
                                                               x
Ó ê à ç à í è å. Äåëàÿ çàìåíó v(x, t) = U (x, t) − 1 +         2
                                                                       , ñâåñòè
çàäà÷ó ê ñëåäóþùåé: íàéòè ðåøåíèå óðàâíåíèÿ
                   ∂v         ∂2v
                      + 6v − 3 2 = −6 − 3x,
                   ∂t         ∂x
óäîâëåòâîðÿþùåå ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì v(0, t) = v(2, t) = 0 è
íà÷àëüíîìó óñëîâèþ v(x, t)|t=0 = x2 − 2x.
49.
               Q³ 2    2
                         ´  2QR3 X∞
                                     (−1)n − n2 a22π2 t     nπr
    U (r, t) =    R −r +        3       3
                                          e R           sin     .
               6k            krπ n=1 n                       R
Ó ê à ç à í è å. Çàäà÷à ïðèâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ óðàâíåíèÿ
                             Ã              !
                   ∂U      ∂2U   2 ∂U               Q
                      = a2     +                +
                   ∂t      ∂r2   r ∂r               cρ
ñ íà÷àëüíûì óñëîâèåì U (r, t)|t=0 = 0, è ñ ãðàíè÷íûìè óñëîâèÿ-
                                                    k
ìè U (R, t) = 0, U (r, t)|r=0 - êîíå÷íî, a2 = cρ      .
50.
                X∞
                       Rλk cos λk (r − R) + sin λk (r − R) −λ2 a2 t
     U (r, t) =     Ak                                    e k ,
                k=1                     r
ãäå λ1 , λ2 , λ3 , ...-ïîëîæèòåëüíûå êîðíè óðàâíåíèÿ
         (1 − 2Rh + 2λ2 R2 ) sin λR = (1 + 2Rh)Rλ cos λR,
                            3R3 λ2k (1 + 2Rh)U0
 Ak =                                                                 .
       (1 + R2 λ2k )[(1 + 2Rh)R2 λ2k + (2Rh + 2R2 λ2k − 1) sin2 λk R]
Ó ê à ç à í è å. Çàäà÷à ïðèâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ óðàâíåíèÿ
                                 Ã              !
                               2
                       ∂U   2 ∂ U    2 ∂U
                          =a     2
                                   +
                       ∂t     ∂r     r ∂r
ïðè óñëîâèÿõ
       ∂U                ∂U
           |r=R = 0,        + hU |r=2R = 0,         U (r, 0) = U0 .
        ∂r               ∂r


                                     29

Страницы