Уравнения математической физики. Сборник задач. Даишев Р.А - 31 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

x = 0, x = `, y = 0, y = m.
(x 0 y) U(x, y)
x=0
=
f(y); U(x, y)|
x=`
= g(y); U(x, y)|
y=0
= ϕ(x); U(x, y)|
y=m
=
ψ(x).
(O x y) U(0, y) = 0
U(`, y) =
hy
m
, U(x, 0) = 0; U(x, m) =
hx
`
.
0 ≤ x ≤ `
1
; 0 ≤ y ≤
`
2
; 0 ≤ z ≤ `
3
.
U(x, y, z, t)|
t=0
= f(x, y, z), f
0 ≤ x ≤ `
1
; 0 ≤ y ≤
`
2
; 0 ≤ z ≤ `
3
.
U(x, y, z, t)|
t=0
= f(x, y, z), f(x, y, z)
U(x, y, t) =
X
0.32l
π
3
ik
√
i
2
+ k
2
sin
πa
√
i
2
+ k
2
l
t sin
iπx
l
sin
kπy
l
,
íàìè x = 0, x = `, y = 0, y = m. Îòêëîíåíèå òî÷åê êîí-
òóðà îò ïëîñêîñòè (x 0 y) çàäàåòñÿ ðàâåíñòâàìè: U (x, y)x=0 =
f (y); U (x, y)|x=` = g(y); U (x, y)|y=0 = ϕ(x); U (x, y)|y=m =
ψ(x). Íàéòè ôîðìó ïîâåðõíîñòè, ïî êîòîðîé ðàñïîëîæèòñÿ ïëåí-
êà. Ðåøèòü çàäà÷ó â ñëó÷àå, åñëè îòêëîíåíèå ïëåíêè îò ïëîñêî-
ñòè (O x y) â òî÷êàõ êîíòóðà çàäàåòñÿ ðàâåíñòâàìè: U (0, y) = 0,
U (`, y) = hym
                , U (x, 0) = 0; U (x, m) = hx  `
                                                 .
    56. Êîîðäèíàòû òî÷åê îäíîðîäíîãî è èçîòðîïíîãî ïàðàëëå-
ëåïèïåäà D óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâàì: 0 ≤ x ≤ `1 ; 0 ≤ y ≤
`2 ; 0 ≤ z ≤ `3 . Íàéòè çàêîí èçìåíåíèÿ òåìïåðàòóðû âíóò-
ðè ýòîãî ïàðàëëåëåïèïåäà, åñëè íà÷àëüíàÿ òåìïåðàòóðà òî÷åê,
ëåæàùèõ âíóòðè ïàðàëëåëåïèïåäà, îïðåäåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì:
U (x, y, z, t)|t=0 = f (x, y, z), (ãäå f - çàäàííàÿ ôóíêöèÿ, îïðåäå-
ëåííàÿ âíóòðè ïàðàëëåëåïèïåäà). Íà ïîâåðõíîñòè ïàðàëëåëå-
ïèïåäà ïîääåðæèâàåòñÿ ïîñòîÿííàÿ íóëåâàÿ òåìïåðàòóðà.
    57. Êîîðäèíàòû òî÷åê îäíîðîäíîãî è èçîòðîïíîãî ïàðàëëå-
ëåïèïåäà D óäîâëåòâîðÿþò íåðàâåíñòâàì: 0 ≤ x ≤ `1 ; 0 ≤ y ≤
`2 ; 0 ≤ z ≤ `3 . Íàéòè çàêîí èçìåíåíèÿ òåìïåðàòóðû âíóò-
ðè ïàðàëëåëåïèïåäà D, åñëè ýòîä ïàðàëëåëåïèïåä èçîëèðîâàí â
òåïëîâîì îòíîøåíèè îò îêðóæàþùåé ñðåäû è åñëè íà÷àëüíàÿ
òåìïåðàòóðà òî÷åê, ëåæàùèõ âíóòðè ïàðàëëåëåïèïåäà, îïðå-
äåëÿåòñÿ ðàâåíñòâîì U (x, y, z, t)|t=0 = f (x, y, z), ãäå f (x, y, z) -
ôóíêöèÿ, çàäàííàÿ âíóòðè D.

                       ÎÒÂÅÒÛ È ÓÊÀÇÀÍÈß.

51.
                                            √
                  X         0.32l         πa i2 + k 2       iπx     kπy
  U (x, y, t) =             √         sin             t sin     sin     ,
                      π 3 ik i2 + k 2         l              l       l

                                     31

Страницы