Уравнения математической физики. Сборник задач. Даишев Р.А - 32 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

i > 0, k > 0 : (1, 1), (1, 3), (3, 1), ...
U(x, y, t) =
l
100
cos
aπ
√
2
l
t sin
πx
l
sin
πy
l
.
∂
2
U
∂t
2
= a
2
Ã
∂
2
U
∂x
2
+
∂
2
U
∂y
2
!
.
w = U −h sin
πx
l
.
∂
2
w
∂t
2
= a
2
Ã
∂
2
w
∂x
2
+
∂
2
w
∂y
2
−
π
2
h
l
2
sin
πx
l
!
,
w(x, y, t)|
x=0
= w(x, y, t)|
x=l
=
w(x, y, t)|
y=0
= w(x, y, t)|
y=m
= 0,
w(x, y, t)|
t=0
= 0, w
0
t
(x, y, t)|
t=0
= v
0
sin
πx
l
.
∂
2
w
∂t
2
= a
2
Ã
∂
2
w
∂x
2
+
∂
2
w
∂y
2
!
,
ϕ
i,k
= sin
iπx
l
sin
kπy
m
w(x, y, t) =
X
i,k
β
i,k
(t)ϕ
i,k
=
X
i,k
β
i,k
(t) sin
iπx
l
sin
kπy
m
.
ãäå ñóììèðîâàíèå ïðîâîäèòñÿ ïî âñåì ïàðàì íå÷åòíûõ íîìåðîâ
i > 0, k > 0 : (1, 1), (1, 3), (3, 1), ... 52.
                                         √
                            l        aπ 2          πx    πy
            U (x, y, t) =       cos          t sin    sin .
                           100           l          l     l
53. Ð å ø å í è å.     Èñêîìàÿ ôóíêöèÿ óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ
                                     Ã                     !
                       ∂ 2U       2
                               2 ∂ U   ∂ 2U
                            = a      +                         .
                       ∂t2       ∂x2   ∂y 2

Ñäåëàåì çàìåíó ïåðåìåííîé: w = U −h sin πx
                                         l
                                           . Òîãäà íîâàÿ íåèç-
âåñòíàÿ ôóíêöèÿ óäîâëåòâîðÿåò íåîäíîðîäíîìó óðàâíåíèþ
                             Ã                                        !
              ∂ 2w        2
                       2 ∂ w    ∂ 2w π2h     πx
                 2
                   = a      2
                              +    2
                                     − 2 sin    ,
              ∂t         ∂x     ∂y     l      l

îäíîðîäíûì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì w(x, y, t)|x=0 = w(x, y, t)|x=l =
w(x, y, t)|y=0 = w(x, y, t)|y=m = 0, è íåîäíîðîäíûì íà÷àëüíûì:
w(x, y, t)|t=0 = 0, wt0 (x, y, t)|t=0 = v0 sin πx
                                                l
                                                  . Íàõîäèì ñîáñòâåííûå
ôóíêöèè îäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ:
                                     Ã                     !
                        ∂ 2w       2
                                2 ∂ w   ∂ 2w
                             = a      +      ,
                        ∂t2       ∂x2   ∂y 2
óäîâëåòâîðÿþùèõ îäíîðîäíûì ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì

                                         iπx     kπy
                            ϕi,k = sin       sin
                                          l       m
è áóäåì èñêàòü ðåøåíèå íåîäíîðîäíîãî óðàâíåíèÿ â âèäå ñóììû
ðÿäà ïî ýòèì ôóíêöèÿì:
                      X                       X                    iπx     kπy
       w(x, y, t) =         βi,k (t)ϕi,k =          βi,k (t) sin       sin     .
                      i,k                     i,k                   l       m

                                         32

Страницы