Уравнения математической физики. Сборник задач. Даишев Р.А - 30 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

`,
U
t
(x, y, t)|
t=0
=
a
50
, a
`,
U(x, y, t)|
t=0
=
`
100
sin
πx
`
sin
πy
`
.
(0 ≤ x ≤ `; 0 ≤ y ≤ m),
U(x, y, t)|
x=0
= 0; U(x, y, t)|
x=`
= 0;
U(x, y, t)|
y=0
= h sin
πx
`
; U(x, y, t)|
y=m
= h sin
πx
`
.
t = 0 U(x, y, 0) = h sin
πx
`
,
v
0
sin
πx
`
.
(0 x y)
x = 0, x = 1, y = 0, y = m;
(0 x y) U(x, y)|
x=0
=
0; U(x, y)|
x=`
= 0; U(x, y)|
y=0
= ϕ(x); U(x, y)|
y=m
= ψ(x).
ϕ(x) = 0; ψ(x) = h sin
πx
`
.
(0 x y)
   Ÿ6. Óðàâíåíèÿ êîëåáàíèÿ è òåïëîïðîâîäíîñòè äëÿ
              ïðÿìîóãîëüíûõ îáëàñòåé.

    51. Íàéòè çàêîí ñâîáîäíûõ êîëåáàíèé êâàäðàòíîé ìåìáðàíû
ñî ñòîðîíîé `, åñëè â íà÷àëüíûé ìîìåíò ìåìáðàíå ïðèäàíà ñêî-
                           a
ðîñòü Ut (x, y, t)|t=0 = 50  , ( ãäå a - ïîñòîÿííàÿ, ôèãóðèðóþùàÿ â
óðàâíåíèè ìåìáðàíû). Íà÷àëüíîå îòêëîíåíèå ðàâíî íóëþ. Ìåì-
áðàíà çàêðåïëåíà â òî÷êàõ ñâîåãî êîíòóðà.
    52. Íàéòè çàêîí ñâîáîäíûõ êîëåáàíèé êâàäðàòíîé ìåìáðàíû
ñî ñòîðîíîé `, åñëè â íà÷àëüíûé ìîìåíò îòêëîíåíèå â êàæäîé
òî÷êå îïðåäåëÿëîñü ðàâåíñòâîì: U (x, y, t)|t=0 = 100       `
                                                             sin πx`
                                                                       sin πy
                                                                            `
                                                                              .
Íà÷àëüíàÿ ñêîðîñòü ðàâíà íóëþ. Âäîëü êîíòóðà ìåìáðàíà çà-
êðåïëåíà.
    53. Íàéòè çàêîí ñâîáîäíûõ êîëåáàíèé îäíîðîäíîé ïðÿìî-
óãîëüíîé ìåìáðàíû (0 ≤ x ≤ `; 0 ≤ y ≤ m), åñëè ãðàíè÷íûå
óñëîâèÿ òàêîâû: U (x, y, t)|x=0 = 0; U (x, y, t)|x=` = 0;
U (x, y, t)|y=0 = h sin πx
                         `
                            ; U (x, y, t)|y=m = h sin πx
                                                       `
                                                         .  íà÷àëüíûé
ìîìåíò t = 0 ìåìáðàíà èìåëà ôîðìó U (x, y, 0) = h sin πx         `
                                                                     , à ñêî-
                                             πx
ðîñòü âñåõ å¼ òî÷åê áûëà ðàâíà v0 sin ` .
    54. Òîíêàÿ ïëåíêà íàòÿíóòà íà ïðîâîëî÷íûé êàðêàñ, ïðîåê-
òèðóþùååñÿ íà ïëîñêîñòè (0 x y) â ïðÿìîóãîëüíèê ñî ñòîðî-
íàìè x = 0, x = 1, y = 0, y = m; îòêëîíåíèå òî÷åê êîí-
òóðà îò ïëîñêîñòè (0 x y) çàäàåòñÿ ðàâåíñòâàìè: U (x, y)|x=0 =
0; U (x, y)|x=` = 0; U (x, y)|y=0 = ϕ(x); U (x, y)|y=m = ψ(x). Íàé-
òè ôîðìó ïîâåðõíîñòè, ïî êîòîðîé ðàñïîëîæèòñÿ ïëåíêà. Ðå-
øèòü çàäà÷ó â òîì ñëó÷àå, êîãäà ϕ(x) = 0; ψ(x) = h sin πx            `
                                                                       .
    55. Òîíêàÿ ïëåíêà íàòÿíóòà íà ïðîâîëî÷íûé êàðêàñ, ïðîåê-
òèðóþùååñÿ íà ïëîñêîñòè (0 x y) â ïðÿìîóãîëüíèê ñî ñòîðî-


                                      30

Страницы