Уравнения математической физики. Сборник задач. Даишев Р.А - 28 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

b
k
(t)
b
0
k
(t) = −
(2k − 1)
2
π
2
a
2
4l
2
b
k
(t) + (−1)
k−1
8U
0
a
2
(2k − 1)πl
2
b
k
(0) =
2
l
∞
Z
0
"
ϕ(x) −
U
0
x
2
l
#
cos
(2k − 1)πx
2l
dx.
b
k
v
U(x, t) =
U
0
x
2
l
2
+
∞
X
k=1
"
c
k
e
−
(2k−1)
2
π
2
a
2
4l
2
t
+
32U
0
(−1)
k−1
(2k − 1)
3
π
3
#
cos
(2k − 1)πx
2l
,
c
k
=
2
l
l
Z
0
"
ϕ(x) −
U
0
x
2
l
#
cos
(2k − 1)πnx
2l
dx +
32U
0
(−1)
k−1
(2k − 1)
3
π
3
.
ϕ =
U
0
x
2
l
U(x, t) =
U
0
x
2
l
2
+
∞
X
k=1
32U
0
(−1)
k−1
(2k − 1)
3
π
3
·
1 − e
−
(2k−1)
2
π
2
a
2
4l
2
t
¸
cos
(2k − 1)πx
2l
.
U(x, t) =
∞
X
k=1
(
−
16(1 − 2 cos kπ)
kπ(k
2
π
2
+ 8)
h
1 − e
−
3
4
(k
2
π
2
+8)t
i
−
−
16(1 − cos kπ)
k
3
π
3
e
−
3
4
(k
2
π
2
+8)t
)
sin
kπx
2
+ 1 +
x
2
.
öèé è ïðèðàâíèâàÿ êîýôôèöèåíòû ïðè îäèíàêîâûõ ñîáñòâåí-
íûõ ôóíêöèÿõ, ïîëó÷èì äëÿ îïðåäåëåíèÿ bk (t) óðàâíåíèå:

                             (2k − 1)2 π 2 a2                      8U0 a2
          b0k (t) = −                         b k (t) + (−1)k−1
                                  4l2                           (2k − 1)πl2
ñ íà÷àëüíûìè óñëîâèÿìè
                                 ∞"                      #
                      2Z                        U 0 x2     (2k − 1)πx
             bk (0) =                    ϕ(x) −        cos            dx.
                      l                            l           2l
                                 0

Îïðåäåëÿÿ bk è ïîäñòàâëÿÿ â âûðàæåíèå äëÿ v , íàéäåì
                  ∞
                                 "                                         #
          U 0 x2 X         (2k−1)2 π 2 a2     32U0 (−1)k−1      (2k − 1)πx
U (x, t) = 2 +       ck e−     4l2
                                          t
                                            +          3  3
                                                            cos            ,
           l     k=1                           (2k − 1) π           2l
ãäå
                 l   "                      #
           2Z                   U 0 x2     (2k − 1)πnx      32U0 (−1)k−1
      ck =               ϕ(x) −        cos             dx +                .
           l                       l            2l           (2k − 1)3 π 3
             0

            U0 x 2
Ïðè ϕ =       l
                         èìååì:
                  ∞                                  ·                    ¸
          U 0 x2 X   32U0 (−1)k−1       −
                                          (2k−1)2 π 2 a2
                                                         t     (2k − 1)πx
U (x, t) = 2 +               3  3
                                  1 − e       4l2          cos            .
           l     k=1 (2k − 1) π                                    2l

48.
                                 (
                            ∞
                            X            16(1 − 2 cos kπ) h      − 34 (k2 π 2 +8)t
                                                                                   i
         U (x, t) =                  −                     1 − e                     −
                           k=1            kπ(k 2 π 2 + 8)
                                                             )
              16(1 − cos kπ) − 3 (k2 π2 +8)t     kπx    x
            −       3  3
                            e 4              sin     +1+ .
                   k π                            2     2



                                                   28

Страницы