Уравнения математической физики. Сборник задач. Даишев Р.А - 26 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

C
2
= 0, C
1
=
gl
2a
2
.
v
tt
= a
2
v
xx
− 2νv
t
, 0 < x < l, 0 < t < ∞,
v(x, 0) =
(
h
x
0
x +
g
2a
2
(x
2
− l x ), 0 < x < x
0
;
h(l−x)
l−x
0
+
g
2a
2
(x
2
− lx), x
0
< x < l;
v
t
(x, 0) = 0, 0 < x < x
0
.
U(x, t) = −
g
2a
2
(x
2
− lx)+
+
2l
2
π
2
e
−νt
∞
X
n=1
(
h sin
πnx
0
l
n
2
x
0
(l − x)
+
g [−1 + (−1)
n
]
πn
3
a
2
)
·
·
µ
cos ω
n
t +
ν
ω
n
sin ω
n
t
sin
πnx
l
.
U(x, t) = e
−ht
∞
P
k=1
(a
k
cos q
k
t + b
k
sin q
k
) sin
kπx
l
,
q
k
=
s
k
2
π
2
a
2
l
2
− h
2
; a
k
=
Z
l
0
f(x) sin
kπx
l
dx;
b
k
=
h
q
k
a
k
+
2
l q
k
Z
l
0
F (x) sin
kπx
l
dx.
U(x, t) =
∞
X
k=1
2
kπ
h
−m
1
+ (−1)
k
m
2
i
e
−
k
2
π
2
a
2
l
2
t
sin
kπx
l
+
+ m
1
+ (m
2
− m
1
)
x
l
.
Èç ãðàíè÷íûõ óñëîâèé íàõîäèì:

                                                    gl
                               C2 = 0,     C1 =        .
                                                   2a2
Îñòàåòñÿ ðåøèòü êðàåâóþ çàäà÷ó

            vtt = a2 vxx − 2νvt ,        0 < x < l,        0 < t < ∞,
                       (     h
                            x0
                               x + 2ag 2 (x2 − lx),        0 < x < x0 ;
           v(x, 0) =       h(l−x)
                            l−x0
                                  + 2ag 2 (x2 − lx),       x0 < x < l;
                          vt (x, 0) = 0,       0 < x < x0 .
Ïîëó÷èì:
                                    g
                          U (x, t) = − (x2 − lx)+
                                  2a2
                        (                                   )
            2l2 −νt X∞
                           h sin πnx
                                   l
                                     0
                                           g [−1 + (−1) n
                                                          ]
           + 2e            2 x (l − x)
                                        +                    ·
            π       n=1   n   0                πn3 a2
                     µ                             ¶
                                 ν               πnx
                    · cos ωn t +    sin ωn t sin     .
                                 ωn               l
                                ∞
                                P
44.        U (x, t) = e−ht          (ak cos qk t + bk sin qk ) sin kπx
                                                                    l
                                                                       ,
                                k=1
ãäå             s
                                         Z l
                 k 2 π 2 a2   2
                                                       kπx
          qk =         2
                            −h ;   ak =      f (x) sin     dx;
                     l                    0             l
                         h      2 Zl            kπx
               bk = ak +             F (x) sin      dx.
                        qk    lqk 0              l
45.
                    ∞
                    X 2 h                              i   k2 π 2 a2           kπx
      U (x, t) =                −m1 + (−1)k m2 e−             l2
                                                                     t
                                                                         sin       +
                    k=1   kπ                                                    l
                               x
              + m1 + (m2 − m1 ) .
                               l


                                          26

Страницы