Уравнения математической физики. Сборник задач. Даишев Р.А - 34 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

−
4h
πkl
2
³
1
l
2
+
k
2
m
2
´
1 − cos aπt
s
1
l
2
+
k
2
m
2
.
β
U w,
U(x, y, t) = h sin
πx
l
+
X
4V
0
akπ
2
q
1
l
2
+
k
2
m
2
sin aπt
s
1
l
2
+
k
2
m
2
−
−
4h
kπl
2
(
1
l
2
+
k
2
m
2
)
(1 − cos aπt
s
1
l
2
+
k
2
m
2
)
sin
πx
l
sin
kπy
m
,
k > 0.
U(x, y) =
∞
X
k=1
h
A
k
e
kπy
l
+ B
k
e
−
kπy
l
i
sin
kπx
l
,
A
k
=
1
l·sh
kπm
l
l
R
0
h
ψ(x) − e
−
kπm
l
ϕ(x)
i
sin
kπx
l
dx,
B
k
=
1
l · sh
kπm
l
l
Z
0
h
e
kπm
l
ϕ(x) − ψ(x)
i
sin
kπx
l
dx.
U(x, y) =
h
sh
πm
l
sh
πy
l
sin
πx
l
.
U(x, y) = v(x, y) + w(x, y),
v(x, y) v
xx
+v
yy
= 0
v(0, y) = v(l, y) = 0, v(x, 0) = ϕ(x), v(x, m) = ψ(x),
                                                               s              
                             4h1 − cos aπt
                                            1    k2 
             −     ³         ´                 +      .
                          k2
               πkl2 l12 + m2
                                            l 2 m2
Ïîäñòàâëÿÿ íàéäåííûå çíà÷åíèÿ êîýôôèöèåíòîâ β è ó÷èòûâàÿ
ñâÿçü ìåæäó U è w, ïîëó÷èì:
                                                                              s
                      πx           X               4V0                             1   k2
  U (x, y, t) = h sin    +                        q                 sin aπt         +    −
                       l                   akπ 2       1
                                                            +   k2                 l2 m2
                                                       l2       m2
                                             s                       
              4h                         1     k2       πx     kπy
     −                 k2
                            (1 − cos aπt     +     ) sin    sin     ,
       kπl2 ( l12 +    m2
                          )              l 2   m 2        l      m
ãäå ñóììèðîâàíèå ïðîâîäèòñÿ ïî âñåì íå÷åòíûì k > 0.
54.                   ∞ h
                     X       kπy       kπy i  kπx
          U (x, y) =     Ak e l + Bk e− l sin     ,
                     k=1                       l

               1      Rl h             kπm
                                                       i
ãäå Ak =   l·sh kπm
                          ψ(x) − e−      l   ϕ(x) sin kπx
                                                       l
                                                          dx,
                  l   0

                           Zl h               i
                     1          kπm                kπx
           Bk =        kπm     e l ϕ(x) − ψ(x) sin     dx.
                l · sh l                            l
                                  0

                                         h     πy     πx
                          U (x, y) =     πm sh    sin    .
                                       sh l     l      l
55. Ðåøåíèå èùåì â âèäå ñóììû äâóõ ôóíêöèé:

                             U (x, y) = v(x, y) + w(x, y),

ãäå v(x, y) óäîâëåòâîðÿåò óðàâíåíèþ vxx + vyy = 0 ñ ãðàíè÷íûìè
óñëîâèÿìè

    v(0, y) = v(l, y) = 0,            v(x, 0) = ϕ(x),                v(x, m) = ψ(x),

                                            34

Страницы