Уравнения математической физики. Сборник задач. Даишев Р.А - 35 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

w(x, y) w(0, y) =
f(y); w(l , y) = g(y); w(x, 0) = w(x, m) = 0.
v(x, y) =
∞
X
k=1
h
A
k
e
kπy
l
+ B
k
e
−
kπy
l
i
sin
kπx
l
,
A
k
=
1
l·sh
kπm
l
l
R
0
h
ψ(x) − e
−
kπm
l
ϕ(x)
i
sin
kπx
l
dx,
B
k
=
1
l · sh
kπm
l
l
Z
0
h
−ψ(x) + e
kπm
l
ϕ(x)
i
sin
kπx
l
dx,
w(x, y) =
∞
X
k=1
h
C
k
e
kπx
l
+ D
k
e
−
kπx
l
i
sin
πky
m
.
C
k
=
1
m·sh
kπl
m
l
R
0
h
g(y) − e
−
kπl
m
f(y)
i
sin
kπy
l
dy,
D
k
=
1
m · sh
kπl
m
l
Z
0
h
−g(y) + e
kπl
m
f(y)
i
sin
kπy
l
dy.
U(x, y) =
∞
X
k=1
(−1)
k−1
2h
kπ
"
sh
kπy
l
sin
kπx
l
sh
kπm
l
+
sh
kπx
m
sin
kπy
m
sh
kπl
m
#
.
U(x, y, z, t) =
=
∞
X
n=1
∞
X
m=1
∞
X
k=1
B
kmn
e
−π
2
a
2
³
k
2
l
2
1
+
m
2
l
2
2
+
n
2
l
2
3
´
t
sin
kπx
l
1
sin
mπy
l
2
sin
nπz
l
3
,
B
kmn
=
8
l
1
l
2
l
3
ZZZ
D
f(x, y, z) sin
kπx
l
1
sin
mπy
l
2
sin
nπz
l
3
dxdydz.
a w(x, y) - òàêîìó æå óðàâíåíèþ è ãðàíè÷íûì óñëîâèÿì w(0, y) =
f (y); w(l, y) = g(y); w(x, 0) = w(x, m) = 0. Ïîëó÷èì
                               ∞ h
                               X                                                i
                                                  kπy                   kπy               kπx
                v(x, y) =                  Ak e    l       + Bk e −      l          sin       ,
                               k=1                                                         l
ãäå
                        1      Rl h                         kπm
                                                                            i
             Ak =   l·sh kπm
                                      ψ(x) − e−               l      ϕ(x) sin kπx
                                                                               l
                                                                                  dx,
                           l   0

                             Zl h                   i
                       1                    kπm          kπx
             Bk =        kπm      −ψ(x) + e   l ϕ(x) sin     dx,
                  l · sh l                                l
                                   0
                                ∞ h
                                X                                               i
                                                     kπx                 kπx              πky
                w(x, y) =                  Ck e       l    + Dk e−        l         sin       .
                                k=1                                                        m
                               Rl h                        kπl
                                                                        i
Çäåñü        Ck =      1
                    m·sh kπl
                                   g(y) − e− m f (y) sin kπy
                                                          l
                                                             dy,
                          m    0

                            Zl h                  i
                      1                   kπl          kπy
             Dk =       kπl     −g(y) + e  m f (y) sin     dy.
                  m · sh m                              l
                                       0
                                                 "                                                #
                    ∞
                    X (−1)k−1 2h                     sh kπy
                                                          l
                                                            sin kπx
                                                                 l
                                                                      sh kπx
                                                                          m
                                                                             sin kπy
                                                                                  m
       U (x, y) =                                                   +                .
                    k=1         kπ                       sh kπm
                                                              l
                                                                          sh kπl
                                                                              m
56.
                                           U (x, y, z, t) =

                                           ³                     ´
      ∞ X
      X ∞ X
          ∞                                    k2     2    2
                               −π 2 a2
                                               l2
                                                  + m2 + n2       t         kπx     mπy     nπz
 =                  Bkmn e                      1
                                                    l
                                                     2
                                                         l
                                                          3           sin       sin     sin     ,
      n=1 m=1 k=1                                                            l1      l2      l3
ãäå
                  8 ZZZ                 kπx     mπy     nπz
      Bkmn   =          f (x, y, z) sin     sin     sin     dxdydz.
               l1 l2 l3                  l1      l2      l3
                          D


                                                      35

Страницы