Уравнения математической физики. Сборник задач. Даишев Р.А - 37 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

1)U|
ρ=a
= A sin ϕ; 2)U|
ρ=a
= A sin
3
ϕ + B;
3)U|
ρ=a
=
(
A sin ϕ, 0 < ϕ < π;
1/3A sin
3
ϕ, π < ϕ < 2π.
∆U = 0
∂U
∂ρ
− hU = −f ρ = a.
∆U = 0
` L (` < L),
U(r, ϕ)|
r=`
= f(ϕ); U(r, ϕ)|
r=L
= F (ϕ).
f(ϕ) F (ϕ)
(f(ϕ) ≡ A, F (ϕ) ≡ B)
x
2
+ y
2
< R
2
∂U
∂r
|
r=R
= ψ(θ), 0 ≤ θ ≤ 2π.
                   Ÿ7. Çàäà÷à Äèðèõëå.

   58. Íàïèñàòü ðåøåíèå ïåðâîé êðàåâîé çàäà÷è äëÿ óðàâíåíèÿ
Ëàïëàñà âíóòðè êðóãà.
   59. Íàïèñàòü ðåøåíèå ïåðâîé êðàåâîé çàäà÷è äëÿ óðàâíåíèÿ
Ëàïëàñà âíå êðóãà.
   60. Íàéòè ðåøåíèå à) âíóòðåííåé è á) âíåøíåé êðàåâûõ çà-
äà÷ äëÿ óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà, åñëè íà ãðàíèöå êðóãà çàäàíû óñëî-
âèÿ:
          1)U |ρ=a = A sin ϕ; 2)U |ρ=a = A sin3 ϕ + B;
                       (
                           A sin ϕ,       0 < ϕ < π;
          3)U |ρ=a =
                           1/3A sin3 ϕ,   π < ϕ < 2π.
    61. Íàïèñàòü ðåøåíèå âòîðîé êðàåâîé çàäà÷è äëÿ óðàâíåíèÿ
Ëàïëàñà ∆U = 0 à) âíóòðè, á) âíå êðóãà.
    62. à) Íàïèñàòü ðåøåíèå òðåòüåé âíóòðåííåé êðàåâîé çàäà÷è
äëÿ óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà â êðóãå, åñëè ãðàíè÷íîå óñëîâèå çàïè-
ñûâàåòñÿ â âèäå ∂U  ∂ρ − hU = −f ïðè ρ = a.
    á) Íàéòè òàê æå ðåøåíèå òðåòüåé âíåøíåé êðàåâîé çàäà÷è
äëÿ êðóãà.
    63. Ðåøèòü óðàâíåíèå Ëàïëàñà ∆U = 0 â ïëîñêîé îáëàñòè,
îãðàíè÷åííîé äâóìÿ êîíöåíòðè÷åñêèìè îêðóæíîñòÿìè ðàäèó-
ñîâ ` è L (` < L), åñëè çàäàíû ñëåäóþùèå ãðàíè÷íûå óñëîâèÿ:
U (r, ϕ)|r=` = f (ϕ); U (r, ϕ)|r=L = F (ϕ).
    Ðàññìîòðåòü, â ÷àñòíîñòè, ñëó÷àé, êîãäà f (ϕ) è F (ϕ) - ïî-
ñòîÿííû: (f (ϕ) ≡ A, F (ϕ) ≡ B)
    64. Íàéòè ðåøåíèå óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà â êðóãå x2 + y 2 < R2
ïðè êðàåâîì óñëîâèè ∂U      |
                         ∂r r=R
                                 = ψ(θ), 0 ≤ θ ≤ 2π.



                                   37

Страницы