Уравнения математической физики. Сборник задач. Даишев Р.А - 38 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

ρ ≤ a; 0 ≤ ϕ ≤ α
U =
(
f(ϕ), ρ = a;
0, ϕ = 0 ϕ = α.
f(ϕ) =
(
U
1
, 0 < ϕ <
α
2
;
U
2
,
α
2
< ϕ < α.
U
1
,
U
2
.
ρ = a, ρ = b,
ϕ = 0, ϕ = α,
U = 0 ϕ = 0, ϕ = α, U = f (ϕ) ρ = 0; U = F (ϕ)
ρ = b. a → 0; b → ∞;
α = π.
`.
r f(r).
0.
f(r) = U
0
= const 6= 0.
ϕ(θ) = cos
2
θ
   65. Íà ãðàíèöå òîíêîé ïëàñòèíêè â ôîðìå êðóãîâîãî ñåêòîðà
ρ ≤ a; 0 ≤ ϕ ≤ α çàäàíà òåìïåðàòóðà
                   (
                    f (ϕ), åñëè ρ = a;
              U=
                       0, åñëè ϕ = 0 èëè ϕ = α.
Íàéòè ñòàöèîíàðíîå òåðìè÷åñêîå ïîëå â ïëàñòèíêå. Ðàññìîò-
ðåòü ÷àñòíûé ñëó÷àé:
                         (
                           U1 ,   0 < ϕ < α2 ;
                f (ϕ) =           α
                           U2 ,   2
                                    < ϕ < α.
    66. Íàéòè ñòàöèîíàðíîå ðàñïðåäåëåíèå òåìïåðàòóðû â òîí-
êîé ïëàñòèíêå, èìåþùåé ôîðìó êðóãîâîãî ñåêòîðà, ðàäèóñû êî-
òîðîãî ïîääåðæèâàþòñÿ ïðè òåìïåðàòóðå U1 , à äóãà îêðóæíîñòè
ïðè òåìïåðàòóðå U2 .
    67. Ðåøèòü óðàâíåíèå Ëàïëàñà âíóòðè êîëüöåâîãî ñåêòîðà,
îãðàíè÷åííîãî äóãàìè îêðóæíîñòåé ρ = a, ρ = b, è ðàäèóñàìè
ϕ = 0, ϕ = α, åñëè çàäàíû ñëåäóþùèå óñëîâèÿ íà ãðàíèöàõ:
U = 0 ïðè ϕ = 0, ϕ = α, U = f (ϕ) ïðè ρ = 0; U = F (ϕ)
ïðè ρ = b. Ðàññìîòðåòü ïðåäåëüíûå ñëó÷àè: a → 0; b → ∞;
α = π.
    68. Äàí îäíîðîäíûé èçîòðîïíûé øàð, öåíòð êîòîðîãî íà-
õîäèòñÿ â íà÷àëå êîîðäèíàò; ðàäèóñ øàðà `. Èçâåñòíî, ÷òî íà-
÷àëüíàÿ òåìïåðàòóðà ëþáîé ÷àñòè øàðà çàâèñèò òîëüêî îò ðàñ-
ñòîÿíèÿ r ýòîé òî÷êè îò íà÷àëà êîîðäèíàò è ðàâíà f (r). Íà
ïîâåðõíîñòè øàðà ïîääåðæèâàåòñÿ ïîñòîÿííàÿ òåìïåðàòóðà 0.
Íàéòè çàêîí îñòûâàíèÿ øàðà. Ðàññìîòðåòü ÷àñòíûé ñëó÷àé, êî-
ãäà f (r) = U0 = const 6= 0.
    69. Íàéòè ãàðìîíè÷åñêóþ ôóíêöèþ âíóòðè øàðà åäèíè÷íî-
ãî ðàäèóñà ñ öåíòðîì â íà÷àëå êîîðäèíàò, ïðèíèìàþùóþ çàäàí-
íûå çíà÷åíèÿ ϕ(θ) = cos2 θ íà ïîâåðõíîñòè ýòîãî øàðà.

                            38

Страницы