Уравнения математической физики. Сборник задач. Даишев Р.А - 36 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

U
t
= a
2
(U
xx
+ U
yy
+ U
zz
),
U(x, y, z)|
t=0
= f(x, y, z)
∂U
∂n
|
S
= 0,
S
U
0
x
(0, y.z, t) = U
0
x
(l
1
, y, z, t) = U
0
y
(x, 0, z, t) = U
0
y
(x, l
2
, z, t) =
= U
0
z
(x, y, 0, t) = U
0
z
(x, y, l
3
, t) = 0.
U(x, y, z, t) =
=
∞
X
n=1
∞
X
m=1
∞
X
k=1
A
kmn
e
−π
2
a
2
µ
k
2
l
2
1
+
m
2
l
2
2
+
n
2
l
2
3
t
sin
kπx
l
1
sin
mπy
l
2
sin
nπz
l
3
,
A
kmn
=
G
kmn
l
1
l
2
l
3
ZZZ
D
f(x, y, z) cos
kπx
l
1
cos
mπy
l
2
cos
nπz
l
3
dxdydz.
G
kmn
=
8,
4,
2,
1,
k 6= 0, m 6= 0, n 6= 0
k = 0, m 6= 0, n 6= 0
k = 0, m = 0, n 6= 0
k = 0, m = 0, n = 0
57. Çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê òîìó, ÷òîáû íàéòè òî ðåøåíèå óðàâíåíèÿ

                            Ut = a2 (Uxx + Uyy + Uzz ),

êîòîðîå óäîâëåòâîðÿåò íà÷àëüíîìó óñëîâèþ

                            U (x, y, z)|t=0 = f (x, y, z)

è ãðàíè÷íîìó óñëîâèþ
                         ∂U
                            |S = 0,
                         ∂n
ãäå S - ïîâåðõíîñòü ïàðàëëåëåïèïåäà. Ýòî ãðàíè÷íîå óñëîâèå
ðàâíîñèëüíî ñèñòåìå ñëåäóþùèõ ãðàíè÷íûõ óñëîâèé:

      Ux0 (0, y.z, t) = Ux0 (l1 , y, z, t) = Uy0 (x, 0, z, t) = Uy0 (x, l2 , z, t) =

                      = Uz0 (x, y, 0, t) = Uz0 (x, y, l3 , t) = 0.
Èñêîìûì ðåøåíèåì áóäåò

                                    U (x, y, z, t) =
                                         µ                   ¶
      ∞ X
        ∞ X
          ∞                                  k2      2   2
      X                        −π 2 a2
                                             l2
                                                + m2 + n2        t         kπx     mπy     nπz
=                     Akmn e                  1
                                                  l
                                                    2
                                                       l
                                                         3           sin       sin     sin     ,
    n=1 m=1 k=1                                                             l1      l2      l3
ãäå
            Gkmn ZZZ                   kπx     mπy     nπz
Akmn      =            f (x, y, z) cos     cos     cos     dxdydz.
            l1 l2 l3 D                  l1      l2      l3
Çäåñü
       
       
       
         8,                    k 6= 0, m 6= 0, n 6= 0
       
       
        4, k = 0, m 6= 0, n 6= 0 è êðóãîâàÿ ïîäñòàíîâêà èíäåêñîâ,
Gkmn =
       
        2, k = 0, m = 0, n 6= 0 è êðóãîâàÿ ïîäñòàíîâêà èíäåêñîâ,
       
       
       
               1, k = 0, m = 0, n = 0 è êðóãîâàÿ ïîäñòàíîâêà èíäåêñîâ.


                                               36

Страницы