Уравнения математической физики. Сборник задач. Даишев Р.А - 40 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

U(r, ϕ) =
∞
X
n=0
R
n
(r)Φ
n
(ϕ);
Φ
n
(r) =
(
cos nϕ,
sin nϕ,
R
n
(r) =
(
r
n
,
r
−n
.
U(r, ϕ) =
A
0
2
+
∞
P
n=1
³
a
r
´
n
(A
n
cos nϕ + B
n
sin nϕ) , a
A
n
, B
n
(2
1
) (2
2
)
U(r, ϕ) = A
r
a
sin ϕ.
U(r, ϕ) = B + 3A
r
a
sin ϕ − 4A
³
r
a
´
3
sin 3ϕ.
U(r, ϕ) = A
r
a
sin ϕ −
8A
π
∞
P
k=1
³
r
a
´
2k
cos 2kϕ
4k
2
−9
.
U(r, ϕ) = A
a
r
sin ϕ.
U(r, ϕ) = B + 3A
a
r
sin ϕ − 4A
³
a
r
´
3
sin 3ϕ.
U(r, ϕ) = A
a
r
sin ϕ −
8A
π
∞
P
k=1
³
a
r
´
2k
cos 2kϕ
4k
2
−9
.
sin
3
ϕ = 3 sin ϕ − 4 sin 3ϕ.
U(r, ϕ) =
∞
X
n=1
r
n
na
n−1
(A
n
cos nϕ + B
n
sin nϕ) + C
1
.
U(r, ϕ) = −
∞
X
n=1
a
n+1
nr
n
(A
n
cos nϕ + B
n
sin nϕ) + C
2
,
  Çàäà÷à ðåøàåòñÿ ìåòîäîì ðàçäåëåíèÿ ïåðåìåííûõ. Ðåøåíèå
èùåì â âèäå ñóììû
                                         ∞
                                         X
                           U (r, ϕ) =          Rn (r)Φn (ϕ);
                                         n=0
                                (                             (
                                    cos nϕ,                        rn ,
                 Φn (r) =                          Rn (r) =
                                    sin nϕ,                       r−n .
                          ∞ ³ ´n
                          P
                 A0          a
59. U (r, ϕ) =   2
                      +      r
                                 (An cos nϕ + Bn sin nϕ) , ãäå a -ðàäèóñ
                          n=1
êðóãà, An , Bn - îïðåäåëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì (21 ) è (22 ) çàäà÷è 1.
60. à) Ðåøåíèå âíóòðåííèõ êðàåâûõ çàäà÷ èìåþò âèä:
    1) U (r, ϕ) = A ar sin ϕ.
                                                   ³ ´3
   2) U (r, ϕ) = B + 3A ar sin ϕ − 4A           r
                                                a
                                                    sin 3ϕ.
                                          ∞ ³ ´2k
                                          P       cos 2kϕ
   3) U (r, ϕ) = A ar sin ϕ −         8A
                                       π
                                             r
                                             a    4k2 −9
                                                          .
                                         k=1
   á) Ðåøåíèå âíåøíèõ êðàåâûõ çàäà÷ äàþòñÿ âûðàæåíèÿìè:
   1) U (r, ϕ) = A ar sin ϕ.
                                                   ³ ´3
   2) U (r, ϕ) = B + 3A ar sin ϕ − 4A               a
                                                    r
                                                          sin 3ϕ.
                                 ∞ ³ ´2k
                                 P       cos 2kϕ
   3) U (r, ϕ) = A ar sin ϕ − 8A
                               π
                                    a
                                    r    4k2 −9
                                                 .
                                         k=1
Ó ê à ç à í è å:  çàäà÷àõ 2) è 3) èñïîëüçîâàëàñü òðèãîíîìåò-
ðè÷åñêàÿ ôîðìóëà

                           sin3 ϕ = 3 sin ϕ − 4 sin 3ϕ.

61. Ðåøåíèå âòîðîé âíóòðåííåé êðàåâîé çàäà÷è äëÿ êðóãà
                          ∞
                          X    rn
        U (r, ϕ) =               n−1
                                     (An cos nϕ + Bn sin nϕ) + C1 .
                          n=1 na

Ðåøåíèå âíåøíåé çàäà÷è
                            ∞
                            X an+1
        U (r, ϕ) = −                    (An cos nϕ + Bn sin nϕ) + C2 ,
                           n=1   nrn

                                              40

Страницы