Уравнения математической физики. Сборник задач. Даишев Р.А - 41 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

C
1
, C
2
a A
n
, B
n
f(ϕ) =
∂U
∂ν
|
r=a
,
ν
U(r, ϕ),
0 ≤ r ≤ a, ∆U =
0 f(ϕ) =
∂U
∂ν
|
r=a
,
2π
R
0
f(ϕ)dϕ = 0.
U(r, ϕ),
∆U = 0 a, f(ϕ) =
∂U
∂ν
|
r=a
, r → ∞.
U(r, ϕ) =
∞
P
n=1
r
n
a
n−1
(n−ah)
(A
n
cos nϕ + B
n
sin nϕ) −
A
0
2h
,
U(r, ϕ) = −
∞
P
n=1
a
n+1
r
n
(an+h)
(A
n
cos nϕ + B
n
sin nϕ) −
A
0
2h
,
a A
n
, B
n
(2
1
)
(2
2
)
r
∂
2
U
∂r
2
+
∂U
∂r
+
1
r
∂
2
U
∂ϕ
2
= 0
U(r, ϕ),
ϕ, 2π
U(a, ϕ) = f(ϕ), U(b, ϕ) = F (ϕ).
(U(r, ϕ) = R(r)Φ(ϕ)),
Φ
00
(ϕ) + λΦ(ϕ) = 0, R
00
(r) +
1
r
R
0
(r) −
λ
r
2
R(r) = 0.
ãäå C1 , C2 - ïðîèçâîëüíûå ïîñòîÿííûå, a - ðàäèóñ êðóãà, An , Bn
- êîýôèöèåíòû Ôóðüå ôóíêöèè f (ϕ) = ∂U       | ,
                                           ∂ν r=a
ν - íàïðàâëåíèå âíåøíåé íîðìàëè ê ðàññìàòðèâàåìîé îáëàñòè.
    Ó ê à ç à í è å: à) Òðåáóåòñÿ íàéòè ôóíêöèþ U (r, ϕ), íåïðå-
ðûâíóþ â êðóãå 0 ≤ r ≤ a, óäîâëåòâîðÿþùóþ óðàâíåíèþ ∆U =
0 âíóòðè ýòîãî êðóãà è ãðàíè÷íîìó óñëîâèþ f (ϕ) = ∂U      | , à
                                                       ∂ν r=a
                    2π
                    R
òàêæå óñëîâèþ            f (ϕ)dϕ = 0.
                    0
    á) Òðåáóåòñÿ íàéòè ôóíêöèþ U (r, ϕ), óäîâëåòâîðÿþùóþ óðàâ-
íåíèþ ∆U = 0 âíå êðóãà ðàäèóñà a, ãðàíè÷íîìó óñëîâèþ f (ϕ) =
∂U
   | , è óñëîâèþ îãðàíè÷åííîñòè ïðè r → ∞.
∂ν r=a
                     ∞
                     P       rn                                  A0
62. a) U (r, ϕ) =       an−1 (n−ah)
                                    (An cos nϕ + Bn sin nϕ) −    2h
                                                                    ,
                    n=1
                       ∞
                       P     an+1                                A0
62. á) U (r, ϕ) =   −     rn (an+h)
                                    (An cos nϕ + Bn sin nϕ) −    2h
                                                                    ,
                      n=1
ãäå a - ðàäèóñ êðóãà, An , Bn - îïðåäåëÿþòñÿ ïî ôîðìóëàì (21 )
è (22 ) çàäà÷è 1.
63. Çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê ðåøåíèþ óðàâíåíèÿ Ëàïëàñà â ïîëÿðíîé
ñèñòåìå êîîðäèíàò

                              ∂2U   ∂U   1 ∂2U
                          r       +    +       =0
                              ∂r2   ∂r   r ∂ϕ2
ïðè ñëåäóþùèõ äîïîëíèòåëüíûõ óñëîâèÿõ: U (r, ϕ), êàê ôóíê-
öèÿ îò ϕ, ïåðèîäè÷íà ñ ïåðèîäîì 2π .

                    U (a, ϕ) = f (ϕ),        U (b, ϕ) = F (ϕ).
   Ðåøàÿ ìåòîäîì Ôóðüå (U (r, ϕ) = R(r)Φ(ϕ)), ïðèõîäèì ê
äâóì óðàâíåíèÿì
                                            1         λ
       Φ00 (ϕ) + λΦ(ϕ) = 0,        R00 (r) + R0 (r) − 2 R(r) = 0.
                                            r        r

                                        41

Страницы