Уравнения математической физики. Сборник задач. Даишев Р.А - 43 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

˜
b
k
=
1
l
−k
L
k
− l
k
L
−k
1
π
π
Z
−π
h
L
k
ϕ(ϕ) − l
k
F (ϕ)
i
sin kϕdϕ.
U(r, ϕ) = C +
∞
P
n=1
r
n
nR
n−1
(α
n
cos nϕ + β
n
sin nϕ).
α
n
=
1
π
2π
R
0
ψ(ϕ) cos nϕdϕ, β
n
=
1
π
2π
R
0
ψ(ϕ) sin nϕdϕ C
α
n
β
n
U(r, ϕ) = C +
1
π
2π
Z
0
ψ(θ)
∞
X
n=1
r
n
nR
n−1
cos n(θ − ϕ)dθ =
= C +
R
π
2π
Z
0
ψ(θ)
∞
X
n=1
1
n
½µ
r
R
n
e
in(θ−ϕ)
¾
dθ =
= C +
R
π
2π
Z
0
ψ(θ)
∞
X
n=1
z
n
nς
n
dθ,
z = re
iϕ
, ς = Re
iθ
.
∞
X
n=1
t
n
n
= ln
1
1 − t
, |t| < 1,
U(r, ϕ) = C +
R
π
2π
Z
0
ψ(θ) ln |ς − z|dθ.
U(r, ϕ) =
∞
P
n=0
f
n
³
r
a
´
πn
α
sin
πn
α
ϕ,
f
n
=
2
α
α
Z
0
f(ϕ) sin
πn
α
ϕdϕ.
                                 π
                       1       1Z h k          k
                                                      i
            b̃k = −k k             L  ϕ(ϕ) − l   F (ϕ)  sin kϕdϕ.
                  l L − lk L−k π
                                          −π
                                ∞
                                P         rn
      64. U (r, ϕ) = C +                nRn−1
                                              (αn        cos nϕ + βn sin nϕ).
                                n=1
                     2π
                     R                                                     2π
                                                                           R
   ãäå αn = π1 ψ(ϕ) cos nϕdϕ, βn = π1 ψ(ϕ) sin nϕdϕ, C -
              0                        0
ïðîèçâîëüíàÿ ïîñòîÿííàÿ.
   Ðÿä ìîæíî ïðîñóììèðîâàòü, ïîäñòàâèâ âûðàæåíèå äëÿ αn è
βn â ðåøåíèå:
                             2π
                           1Z        X∞
                                          rn
            U (r, ϕ) = C +      ψ(θ)        n−1
                                                cos n(θ − ϕ)dθ =
                           π         n=1 nR
                                    0

                           2π                            ½µ       ¶n             ¾
                  RZ      X∞
                              1                               r        in(θ−ϕ)
              =C+    ψ(θ)       Re                                     e             dθ =
                  π       n=1 n                               R
                          0
                                          2π
                              RZ      X∞
                                            zn
                          =C+    ψ(θ)     Re n dθ,
                              π       n=1   nς
                                          0

ãäå ââåäåíî îáîçíà÷åíèÿ: z = reiϕ , ς = Reiθ . Èñïîëüçóÿ ñîîò-
íîøåíèå             ∞ n
                    X  t        1
                          = ln      , |t| < 1,
                   n=1 n       1−t
íàõîäèì:
                                2π
                              RZ
              U (r, ϕ) = C +       ψ(θ) ln |ς − z| dθ.
                              π
                                                    0
                                              ∞
                                              P          ³ ´ πn
                                                          r
65.                       U (r, ϕ) =                fn    a
                                                              α
                                                                  sin πn
                                                                      α
                                                                         ϕ,
                                              n=0
      ãäå
                                           α
                                2Z           πn
                           fn =    f (ϕ) sin    ϕdϕ.
                                α            α
                                          0


                                                    43

Страницы