Уравнения математической физики. Сборник задач. Даишев Р.А - 44 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

КФУ | Казань

Составители: 

Рубрика: 

f(ϕ) =
(
U
1
0 < ϕ <
α
2
U
2
α
2
< ϕ < α
U(r, ϕ) =
U
1
+ U
2
π
arctg
2r
π
α
α
π
α
sin
πn
α
ϕ
α
2π
α
− r
2π
α
+
+
U
1
− U
2
π
arctg
2r
π
α
α
π
α
sin
πn
α
ϕ
α
4π
α
− r
4π
α
.
∞
X
k=0
z
2k+1
2k + 1
=
1
2
ln
1 + z
1 − z
(α).
J =
∞
P
k=0
ξ
2k+1
sin(2k+1)ϕ
2k+1
=
=
1
2i
(
∞
X
k=0
ξ
2k+1
e
i(2k+1)ϕ
2k + 1
−
∞
X
k=0
ξ
2k+1
e
−i(2k+1)ϕ
2k + 1
)
.
z = ξe
iϕ
= ξ(cos ϕ+i sin ϕ) z
∗
= ξe
−iϕ
= ξ(cos ϕ−
i sin ϕ) (α)
J =
1
4i
ln
(1 + z)(1 − z
∗
)
(1 − z)(1 + z
∗
)
=
1
4i
ln
1 − ξ
2
+ 2iξ sin ϕ
1 − ξ
2
− 2iξ sin ϕ
=
1
2
arctg
2ξ
1 − ξ
2
.
U(r, ϕ) = U
1
+
4 (U
2
− U
1
)
π
∞
X
k=0
µ
r
a
(2k+1)π
α
sin(2k + 1)
π
α
ϕ
2k + 1
,
U(r, ϕ) =
2U
1
π
arctg
r
2π
α
− a
2π
α
2a
π
α
r
π
α
sin
πn
α
ϕ
+
2U
2
π
arctg
2r
π
α
a
π
α
sin
πn
α
ϕ
r
2π
α
− a
2π
α
.
                                              (
                                                  U1       0 < ϕ < α2
    ÷àñòíîì ñëó÷àå             f (ϕ) =                    α                         ðÿä
                                                  U2       2
                                                             <ϕ<α
ñóììèðóåòñÿ è äàåò
                                                       π   π
                         U1 + U2       2r α α α sin πn
                                                    α
                                                       ϕ
              U (r, ϕ) =         arctg      2π     2π    +
                            π            αα −rα
                                              π    π
                U1 − U2       2r α α α sin πn
                                           α
                                              ϕ
              +         arctg      4π     4π    .
                   π            αα −rα
   Ïðè ñóììèðîâàíèè ðÿäîâ áûëà èñïîëüçîâàíà ôîðìóëà
                    ∞
                    X z 2k+1             1 1+z
                                     =    ln                   (α).
                    k=0   2k + 1         2 1−z
                            ∞
                            P
 ñàìîì äåëå:        J=           ξ 2k+1 sin(2k+1)ϕ
                                            2k+1
                                                    =
                            k=0
                (∞                     ∞
                                                                          )
             1 X           ei(2k+1)ϕ X           e−i(2k+1)ϕ
           =        ξ 2k+1          −     ξ 2k+1            .
             2i k=0         2k + 1    k=0         2k + 1
     Îáîçíà÷àÿ z = ξeiϕ = ξ(cos ϕ+i sin ϕ) è z ∗ = ξe−iϕ = ξ(cos ϕ−
i sin ϕ) , è ïîëüçóÿñü ôîðìóëîé (α), ïîëó÷èì
      1    (1 + z)(1 − z ∗ )   1    1 − ξ 2 + 2iξ sin ϕ  1        2ξ
J=      ln               ∗
                             =   ln       2
                                                        = arctg        .
      4i (1 − z)(1 + z )       4i 1 − ξ − 2iξ sin ϕ      2      1 − ξ2
Îòñþäà è ñëåäóåò îòâåò.
66.
                                              µ ¶ (2k+1)π
                      4 (U2 − U1 ) X∞
                                       r                   α    sin(2k + 1) απ ϕ
      U (r, ϕ) = U1 +                                                            ,
                           π       k=0 a                            2k + 1
èëè

                                2π       2π                           π   π
             2U1        rα −aα           2U2       2r α a α sin πn
                                                                α
                                                                   ϕ
  U (r, ϕ) =     arctg π π         πn  +     arctg      2π     2π    .
              π       2a α r α sin α ϕ    π          rα −aα

                                         44

Страницы