Составители:
Рубрика:
12
Поэтому естественно, что разумное поведение игроков в стратеги-
чески эквивалентных играх должно быть одинаковым.
Теорема 1. Стратегически эквивалентные игры имеют одни и те же
ситуации равновесия.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть
Г~ Г ,
′
а s* – ситуация равновесия в
игре Г. Докажем, что s* – ситуация равновесия в игре
Г
′
. Из определе-
ния ситуации равновесия s* в игре Г следует, что для всех
и
ii
iI s S∈∈
верно следующее:
(* ) (*).
ii i
Hs s Hs≤
(6.1)
А стратегическая эквивалентность
Г
и
Г
′
означает
(*) (*) ,
iii
Hs kHs c
′
=+
(6.2)
(* ) (* ) ;
ii iii
Hs s kHs s c
′
=+
(6.3)
из (6.1), (6.2), (6.3) получаем
**
() (),
iiii i
kH s s c kH s c
′′
+≤ +
откуда (с учетом k > 0) получаем
(* ) (*) и,
ii i ii
Hs s Hs i I s S
′′
≤∀∈∈
что и означает равновесность стратегии s* в игре
Г.
′
Определение 7. Бескоалиционная игра
Г,{},{}
iiI iiI
IS H
∈∈
=< >
та-
кая, что в любой ситуации
sS∈
суммарный выигрыш игроков равен
нулю, называется игрой с нулевой суммой.
Теорема 2. Всякая бескоалиционная игра с постоянной суммой стра-
тегически эквивалентна некоторой игре с нулевой суммой.
Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть
Г{,{},{}}
iiI iiI
IS H
∈∈
=
– игра с постоянной
суммой, т. е. для всех ситуаций
Ss ∈
верно
() , const.
i
iI
Hs cc
∈
==
∑
Выберем произвольные
(),
i
ci I∈
, для которых
,
i
iI
cc
∈
=
∑
и рассмот-
рим игру
Г{,{},{}}
iiI iiI
IS H
∈∈
′′
=
с функциями выигрышей
() () .
iii
Нs Hs c
′
=−
Видно, что, с одной стороны,
Г и Г
′
эквивалент-
ны, а, с другой стороны,
Г
′
– является игрой с нулевой суммой, так как
() () 0
iii
iI iI iI
Hs Hs c c c
∈∈∈
′
= − =−=
∑∑∑
.sS∀∈
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 10
- 11
- 12
- 13
- 14
- …
- следующая ›
- последняя »
