Составители:
Рубрика:
13
7. Антагонистические игры
Антагонистическая игра является частным случаем бескоалицион-
ной игры.
Определение 8. Игра
Г,{},{}
iiI iiI
IS H
∈∈
=< >
называется антаго-
нистической, если число игроков в ней равно двум, а значения функ-
ций выигрыша этих игроков в каждой ситуации равны по величине и
противоположны по знаку, т. е.
12
() (), .Hs H s s S
=− ∀ ∈
(7.1)
Из определения следует, что в любой ситуации антагонистической
игры
0)()(
21
=+
sHsH
. Иначе говоря, антагонистическая игра – это
игра двух лиц с нулевой суммой.
Ясно, что при задании антагонистической игры достаточно задать
только одну функцию выигрыша, вторая однозначно определяется из
выражения (7.1).
Поэтому под антагонистической игрой обычно понимают тройку:
Г,,,ABH
=< >
где А и В – множества стратегий игроков 1 и 2, а Н –
функция выигрыша игрока 1, заданная на
{
}
(, ): , .SabaAbB=∈∈
Из теоремы 2 следует, что бескоалиционная игра двух лиц с постоянной
суммой стратегически эквивалентна некоторой антагонистической игре.
8. Седловые точки
Пусть
Г,,ABH=< >
– антагонистическая игра. Для ситуации рав-
новесия (a, b) должно быть верно
11
(, ) ( , ), ;
Hab Ha b a A
′′
≥∈
(8.1)
22
(, ) (, ), .Hab Hab b B
′′
≥∈
(8.2)
Учитывая, что
21
(, ) (, ),Hab Hab
=−
запишем выражение (8.2) как
11
(, ) (, ),Hab Hab b B
′′
−≥− ∈
или
11
(, ) (, ), .Hab Hab b B
′′
≤∈
Вместе с (8.1) запишем это в виде двойного неравенства (переходя от
обозначения
1
H
к обозначению Н для функции выигрыша 1-го игрока)
(, ) (, ) (, ), , .Ha b Ha b Ha b a A b B
′′′′
≤≤ ∈∈
Это неравенство выражает следующее свойство функции Н в точке
(a, b): при любом изменении переменной a значение Н может только
уменьшиться, а при изменении значения переменной b – только увели-
читься, т. е. по переменной a функция Н невозрастающая, а по пере-
менной b – неубывающая. Таким образом, на поверхности, описывае-
Страницы
- « первая
- ‹ предыдущая
- …
- 11
- 12
- 13
- 14
- 15
- …
- следующая ›
- последняя »
