Теория игр. Основные понятия: Текст лекций. Даниловцева Е.Р - 15 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

15
если некоторая постоянная d такова, что
(
)
,,fx d x D≥∀∈
то и
()
inf .
xD
fx d
∈
≥
Данное утверждение следует непосредственно из определений 9 и 10.
Утверждение 2. Если
()
fx
и
()
gx
заданы на D и при любом
xD
∈
верно
() ()
,fx gx≤
то верно и
() ()
su
p
su
p
,fx gx≤
() ()
inf inf .fx gx
≤
Д о к а з а т е л ь с т в о. Из условия и определение супремума име-
ем
() () ()
supf x gx gx const≤≤ = ⇒
с учетом утверждения 1
()
sup
fx≤
()
su
p
.gx≤
Аналогично доказывается неравенство для инфимумов.
Теорема 3. Если
x
изменяется в области
D
,
y
изменяется в облас-
ти
E
,
()
yxf ,
определена на
ED ×
, то
() ()
supinf , inf sup , .
yy
xx
fxy fxy
≤
(9.1)
Д о к а з а т е л ь с т в о. Имеем при любом x и y
() ()
,,.
sup
x
fxy fxy≤
Учитывая утверждение 2, получим:
() ()
inf , inf sup , .
yy
x
f x y f x y const
≤=
Справа здесь стоит постоянная. Поэтому в соответствии с утвержде-
нием 1 имеем:
() ()
supinf , inf sup , .
yy
xx
fxy fxy≤
Следствие (Утверждение 3): Если в выражении (9.1) экстремумы
достигаются, то
() ()
max inf , min sup , .
yy
x
x
fxy fxy
≤
(9.2)
Если, кроме того, достигаются и все внутренние экстремумы, т. е.
если
()
min ,
x
y
fxy∀∃
и
()
max , ,
x
yfxy∀∃
то
() ()
max min , min max , .
yy
xx
fxy fxy≤
(9.3)
Неравенства (9.1), (9.2), (9.3) называют иногда неравенствами ми-
нимаксов. Они имеют большое значение в теории игр.

Страницы