Теория игр. Основные понятия: Текст лекций. Даниловцева Е.Р - 17 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

17
Но, согласно теореме 3, справедливо и противоположное неравен-
ство
() ()
supinf , inf sup , .
yy
xx
fxy fxy
≤
Поэтому
() ()
inf sup , supinf , .
yy
xx
fxy fxy=
(10.8)
Значит, в выражении (10.7) крайние части равны. Следовательно,
равны друг другу все части этого неравенства. В частности,
*
inf sup ( , ) sup ( , ).
y
xx
fxy fxy
=
Таким образом в выражении
inf sup ( , )
y
x
fxy
инфимум достигается
(именно при y = y*) и оно может быть записано как
min sup ( , ).
y
x
fxy
Точно так же из равенства всех частей в выражении (10.7) вытекает,
что
*
inf ( , ) supinf ( , ),
yy
x
fx y fxy=
т. е. супремум достигается в точке x*
и поэтому вместо
sup inf ( , )
y
x
fxy
мы можем писать
max inf ( , ).
y
x
fxy
В итоге равенство (10.8) может быть переписано следующим обра-
зом
maxinf (,) minsup(,),
y
x
x
y
fxy fxy=
что и требовалось доказать.
2. Достаточность. Предположим теперь, что минимаксы (10.1) суще-
ствуют и равны, а внешние экстремумы на них достигаются соответствен-
но в точках x* и y*
Это значит, что
*
max inf ( , ) inf ( , ).
yy
x
fxy fx y=
Но, кроме того, по определению инфимума
**
inf ( , ) ( , ),
y
fx y fx y≤
так что
()
***
max inf , inf ( , ) ( , ).
yy
x
fxy fx y fx y=≤
(10.9)
Аналогично рассуждая, получаем
** *
( , ) sup(, ) minsup(,).
y
x
x
fx y fxy fxy≤=
(10.10)
По предположению минимаксы (10.1) равны, а значит равны друг
другу и все сравниваемые в неравенствах (10.9) и (10.10) выражения. В
частности,
***
sup ( , ) ( , ).
x
fxy fx y=

Страницы