Теория игр. Основные понятия: Текст лекций. Даниловцева Е.Р - 16 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

СПб ГУАП | Санкт-Петербург

Составители: 

Рубрика: 

16
10. Равенство минимаксов и седловые точки
Теорема 4. Для того чтобы функция
()
,fxy
, заданная на множестве
DE
×
, имела седловые точки, необходимо и достаточно, чтобы суще-
ствовали (т. е. достигались) минимаксы
()
max inf , ,
y
x
fxy
()
min sup ,
y
x
fxy
(10.1)
и выполнялось равенство
() ()
max inf , min sup , .
yy
x
x
fxy fxy=
(10.2)
Замечание. Подразумевается седлообразность точки в смысле тео-
рии игр.
Д о к а з а т е л ь с т в о. 1. Необходимость. Пусть f(x, y) имеет
седловые точки и (x*, y*) – одна из них. Это означает, что
()( )()
****
,,,.fxy fx y fx y≤≤
(10.3)
Применяя к левой части выражения (10.3) утверждение 1 п. 9, получим
()( )
***
sup , , .
x
fxy fx y≤
(10.4)
Далее, используя определение инфимума применительно к функции
() ( )
sup ,
x
gy f xy
=
, получаем
() ()
() ( ) ( )
****
inf sup , inf sup , , .
yy
xx
fxy gy gy fxy fx y=≤= ≤
(10.5)
Аналогично, применяя к правой части выражения (10.3) утвержде-
ние 1 п. 9 и используя определение супремума применительно к функ-
ции
() ( )
inf , ,
y
zx f xy=
получим
() ()
() ( ) ( )
****
supinf , sup inf , , .
yy
xx
fxy zx zx fx y fx y=≥= ≥
10.6)
Объединяя выражения (10.5) и (10.6), имеем:
()
()( ) ()
()
*** *
inf su
p
,su
p
,,inf,su
p
inf ,
yyy
xx x
fxy fxy fxy fxy fxy
≤≤≤≤
(10.7)
() ()
inf sup , supinf , .
yy
x
x
fxy fxy
⇒≤

Страницы