Квадратурные формулы. Добрынина Н.Ф. - 67 стр.

          Ω( x) = ( x − a1 )K ( x − am ), ω( x) = ( x − x1 )K ( x − xn ).
   За счет выбора коэффициентов Ak и Bl формулу (1) можно сде-
лать верной для многочленов степени n + m − 1 . Чтобы равенство (1)
было верным для многочленов более высокой степени, нужно специ-
ально подобрать узлы xk .
   Теорема 1. Для того, чтобы формула (1) была точной для много-
членов степени 2n + m − 1 , необходимо и достаточно, чтобы: 1) она
была интерполяционной и 2) многочлен ω(x) был ортогонален на
отрезке [a, b] по весу p ( x )Ω( x) ко всякому многочлену Q(x) степе-
ни < n .
   Доказательство. Необходимость первого условия очевидна, так
как, если формула (1) верна для всех многочленов степени n + m − 1 ,
то она должна быть интерполяционной. Необходимость второго ус-
ловия проверяется, если положить f = ΩωQ . Функция f есть мно-
гочлен, степень которого ≤ 2n + m − 1 . Так как f в точках al и xk
исчезает, то квадратурная сумма для такой функции обращается в
нуль и будет выполняться условие
                          b
                           ∫ p( x)Ω( x)ω( x)Q( x)dx = 0                       (2)
                          a
и тогда равенство (1) будет точным.
   Достаточность условий теоремы следует из таких предположений.
Пусть f есть произвольный многочлен степени 2n + m − 1 . Его
можно представить в форме
                       f = Ω( x)ω( x)Q ( x) + r ( x) ,
где Q (x) и r (x) – степени ≤ n − 1 и ≤ n + m − 1 соответственно. При
этом очевидно, f (al ) = r (al ) (l = 1,K, m) и f ( xk ) = r ( xk ) (k = 1,K, n) .
   Если выполнено условие ортогональности (2) и формула (1) – ин-
терполяционная, то будет верной следующая цепочка равенств:
    b         b               b       b          n               m
    ∫ pfdx = ∫ pΩωQdx + ∫ prdx = ∫ prdx = ∑ Ak r ( xk ) + ∑ Bl r (al ) =
    a         a               a       a         k =1            l =1



                                          67