Квадратурные формулы. Добрынина Н.Ф. - 69 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

69
∑∑
==
=+
n
k
m
l
llkk
arBxrA
11
.0)()(
Следовательно,
∫∫
+
ξ
ωΩ===
+
b
a
b
a
mn
dx
mn
f
xxxpprdxrRfR
)!2(
)(
)()()()()(
)2(
2
. (3)
Отсюда видно, что если
∫
≠ωΩ=
b
a
dxpI 0
2
,
то степень точности формулы (1) равна 12
−
+
mn .
Формула (1) является интерполяционной, поэтому ее коэффици-
енты должны иметь следующие значения:
∫
Ωω
′
−
Ωω
=
b
a
kkk
k
dx
xxxx
xx
xpA
)()()(
)()(
)( , (4)
∫
Ω
′
ω−
Ωω
=
b
a
lll
l
dx
aaax
xx
xpB
)()()(
)()(
)( . (5)
Для коэффициентов
k
A
можно дать другое представление, более
удобное для вычислений. Допустим, что существует единственная
система многочленов ),2,1()(
K
=
Π sx
s
, где
s
Π
– ортонормиро-
ванная система по весу )()()( xxpx
Ω
=
ρ
на отрезке ],[ ba . Многочлен
s
Π может отличаться от )(x
ω
только постоянным множителем
∫
−
Π
ρ
ΩΠ
′
=
b
a
k
n
kkn
k
dx
xx
x
x
xx
A
)(
)(
)()(
1
.
В лекции 5 для интеграла
∫
−
Π
ρ
b
a
k
n
dx
xx
x
x
)(
)( были получены сле-
дующие два выражения:
∫
−−+
+
Πα
α
=
Πα
α
−=
−
Π
ρ
b
a
knn
n
knn
n
k
n
xx
dx
xx
x
x
)()(
)(
)(
111
1
. 
                          n                         m
                        ∑ Ak r ( xk ) + ∑ Bl r (al ) = 0.
                        k =1                       l =1
   Следовательно,
                              b                b
                                                                    f ( 2 n + m ) ( ξ)
           R( f ) = R( r ) = ∫ prdx = ∫ p( x)Ω( x)ω2 ( x)                              dx .   (3)
                              a                a                     (2n + m)!
   Отсюда видно, что если
                                          b
                                  I = ∫ pΩω2 dx ≠ 0 ,
                                          a
то степень точности формулы (1) равна 2n + m − 1 .
   Формула (1) является интерполяционной, поэтому ее коэффици-
енты должны иметь следующие значения:
                                  b
                                                     ω( x)Ω( x)
                       Ak = ∫ p ( x)                                    dx ,                  (4)
                                  a           ( x − xk )ω′( xk )Ω( xk )
                                      b
                                                     ω( x)Ω( x)
                        Bl = ∫ p( x)                                   dx .                   (5)
                                      a        ( x − al )ω(al )Ω′(al )
   Для коэффициентов Ak можно дать другое представление, более
удобное для вычислений. Допустим, что существует единственная
система многочленов Π s ( x) ( s = 1, 2, K) , где Π s – ортонормиро-
ванная система по весу ρ( x) = p( x)Ω( x) на отрезке [a, b] . Многочлен
Π s может отличаться от ω(x) только постоянным множителем
                                             b       Π ( x)
                                   1
                   Ak =                      ∫ ρ( x ) n     dx .
                          Π ′n ( xk )Ω( xk ) a       x − xk
                                               b          Π n ( x)
   В лекции 5 для интеграла ∫ ρ( x)                                dx были получены сле-
                                               a          x − xk
дующие два выражения:
          b      Π ( x)                        α                     α
                    n              n +1           n
          ∫ ρ( x) x − x dx = − α Π ( x ) = α Π ( x ) .
          a            k        n n +1 k    n −1 n −1 k


                                                   69

Страницы