Квадратурные формулы. Добрынина Н.Ф. - 68 стр.

             n                    m
          = ∑ Ak f ( xk ) + ∑ Bl f (al ) .
            k =1                 l =1
   Достаточность условий теоремы доказана.
   Таким образом, построение квадратурной формулы (1), верной
для алгебраических многочленов степени 2n + m − 1 , приводит к на-
хождению многочлена ω(x) степени n , ортогонального на [a, b] по
весу pΩ ко всякому многочлену меньшей степени. Корни многочле-
на ω(x) должны быть действительными, различными и принадле-
жать отрезку [a, b] . Кроме того, они должны быть отличны от фик-
сированных узлов al (l = 1, K , m) .
   Допустим, что многочлен ω(x) , обладающий указанными свойст-
вами, существует. Тогда формула (1) может быть построена и она
верна для многочленов степени 2n + m − 1 . Для изучения алгебраиче-
ской степени точности данной квадратурной формулы получим
представление остатка. Выполним интерполирование f на [a, b] с
помощью многочлена H (x) степени ≤ 2n + m − 1 по следующим ус-
ловиям:
                       H (al ) = f (al ) (l = 1,K, m),
           H ( xk ) = f ( xk ), H ′( xk ) = f ′( xk ) ( k = 1,K, n).
   Если f имеет производную порядка 2n + m во всех точках от-
резка [a, b] , то остаток интерполирования r ( x) = f ( x) − H ( x) пред-
ставим в форме
                                               f ( 2 n + m ) ( ξ)
                   r ( x ) = Ω( x )ω 2 ( x )                      , a < ξ < b.
                                                (2n + m)!
    Для остатка квадратуры               R( f )  справедливо равенство
R ( f ) = R ( H ) + R (r ) . Поскольку формула (1) верна для всех много-
членов степени 2n + m − 1 , то R ( H ) = 0 . Кроме того, во всех узлах
al и xk остаток интерполирования r (x) обращается в нуль и поэто-
му квадратурная сумма для r (x) исчезает




                                                68