Квадратурные формулы. Добрынина Н.Ф. - 70 стр.

   Под α n здесь подразумевается старший коэффициент многочлена
Π n ( x) .
   Таким образом, коэффициенты квадратурной формулы могут
быть вычислены по одной из двух формул:
                       α n +1                                αn
 Ak = −                                    =                                        . (6)
        α n Π ′n ( xk )Π n +1 ( xk )Ω( xk ) α n −1Π ′n ( xk )Π n −1 ( x k )Ω( x k )

                       2. Формулы частного вида
    При построении квадратурных формул, рассмотренных в лекции 5,
все узлы и коэффициенты выбирались так, чтобы каждая из них была
точной для многочленов возможно более высокой степени. Стремясь
обобщить эту идею, А. А. Марков рассматривал такие формулы, в
которых для повышения точности используется произвольный выбор
коэффициентов Ak и лишь части узлов xk . Другая же часть узлов
может быть фиксирована любым способом.
    Будем считать функцию p (x) , входящую в интеграл (1) разд. 1,
неотрицательной: p( x) ≥ 0 . Чтобы другая весовая функция, участ-
вующая в исследованиях, ρ( x) = p( x)Ω( x) сохраняла знак, мы долж-
ны предположить, что Ω(x) также сохраняет свой знак на [a, b] и,
следовательно, ни один из фиксированных узлов al не лежит внутри
[a, b] . Если не допускать квадратурных формул с узлами, лежащими
вне [a, b] , то мы должны ограничиться рассмотрением следующих
случаев А. А. Маркова:
    1) m = 1 и берется один фиксированный узел a1 = a ;
   2) m = 1 и фиксирован узел a1 = b .
   Второй случай приводится к первому с помощью линейного пре-
образования x = a + b − t и отдельно рассматриваться не будет.
   3) m = 2 и берутся два фиксированных узла a1 − a, a2 = b .
   Ввиду знакопостоянства ρ( x) = p( x)Ω( x) на [a, b] , многочлен
ω(x) , ортогональный по весу ρ на [a, b] ко всякому многочлену сте-
пени < n , существует при всяком n . Корни xk – действительные,


                                           70