Квадратурные формулы. Добрынина Н.Ф. - 71 стр.

простые и все лежат внутри отрезка [a, b] . Поэтому квадратурные
формулы (1) разд. 1 точные для всевозможных многочленов степени
2n + m − 1 и в случаях Маркова могут быть построены при любых n .
Алгебраическая точность таких формул будет равна 2n + m − 1 .
   Построение начнем с первого случая m = 1 , a1 = a :
                         b                        n
                         ∫ pfdx = Af (a) + ∑ Ak f ( xk ) + R( f ) .                   (1)
                         a                     k =1
   Наивысшая степень точности формулы равна 2n .
   Здесь Ω( x) = x − a ; xk – корни многочлена Π s степени n , орто-
гонального на [a, b] по весу ρ( x) = ( x − a) p( x) ко всякому многочле-
ну степени < n . Используя формулу (6) разд. 1, получаем удобное
средство для вычисления коэффициентов Ak :
                        α n +1                                αn
  Ak = −                                    =                                        . (2)
         α n Π ′n ( xk )Π n +1 ( xk )Ω( xk ) α n −1Π ′n ( xk )Π n −1 ( x k )Ω( x k )
   Пользуясь формулой (5) разд. 1, найдем
                                              b
                                A = Π n−1 (a ) ∫ p( x)Π n ( x)dx .                    (3)
                                              a
   Легко показать, что все коэффициенты положительные.
   Если f имеет непрерывную производную порядка 2n + 1 , то ос-
таток R ( f ) может быть представлен в виде
                             f ( 2 n +1) (η) b
                  R( f ) =                   ∫ p ( x)( x − a )ω2 ( x)dx, a < η < b.   (4)
                              (2n + 1)! a
   Рассмотрим третий случай, когда два заранее заданных узла лежат
на границах интервала интегрирования a1 = a, an = b :
              b                                          n
               ∫ p( x) f ( x)dx = Af (a) + Bf (b) + ∑ Ak f ( xk ) + R( f ) .          (5)
              a                                         k =1
   Наивысшая степень точности такой формулы равна 2n + 1 ;
Ω( x) = ( x − a)( x − b) ; xk – корни многочлена Π s степени n , ортого-
нального на отрезке [a, b] по весу ρ( x) = ( x − a)( x − b) p ( x) ко всяко-
му многочлену меньшей степени.


                                             71