Квадратурные формулы. Добрынина Н.Ф. - 74 стр.

                              b
                              ∫ p( x)dx = cn ,
                              a

откуда можно найти коэффициент

                                         1b
                                  cn =    ∫ p( x)dx .              (2)
                                         na

   Для нахождения узлов xk нужно потребовать, чтобы формула (1)
точно выполнялась для функций f = x, x 2 ,K, x n . В результате полу-
чим систему уравнений
                                               b              ⎫
                     x1 + x2 + K + xn = c −1 ∫ p ( x) xdx, ⎪
                                               a              ⎪
                                               b              ⎪
                    x12 + x22 + K + xn2 = c −1 ∫ p( x) x 2 dx,⎪
                                                              ⎬    (3)
                                               a
                      . . . . . . . . . . . . ⎪
                                               b
                                                              ⎪
                      n     n         n     −1           n    ⎪
                    x1 + x2 + K + xn = c ∫ p ( x) x dx.⎪
                                               a              ⎭
   Построим многочлен ω(x) степени n , для которого узлы квадра-
турной формулы x1 ,K , xn будут корнями
                     ω( x) = ( x − x1 )( x − x2 )K ( x − xn ) .    (4)
  От этого многочлена можно перейти к многочлену по степеням x :
                 ω( x) = x n + A1 x n −1 + A2 x n − 2 + K + An .   (5)
   Коэффициенты A1 ,K, An будут известными элементарными сим-
метрическими функциями корней. С другой стороны, левые части
уравнений системы (3) есть суммы степеней корней xk :
                s k = x1k + x2k + K + x nk (k = 1, 2, K , n) .
  В правых частях уравнений стоят значения этих функций для
многочлена (4).



                                         74