Квадратурные формулы. Добрынина Н.Ф. - 75 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

75
В алгебре многочленов хорошо известны соотношения между
элементарными симметрическими функциями
),,2,1( niA
i
K
=
и
функциями ),,2,1( nks
k
K= . Они даются следующими равенства-
ми, которые часто называют соотношениями Ньютона:
.0
........
,02
,0
2211
2112
11
=++++
=++
=+
−− nnnn
nAsAsAs
AsAs
As
K
(6)
Система уравнений позволяет последовательно найти все коэф-
фициенты
),,2,1( niA
i
K=
по известным значениям
k
s
из систе-
мы (3). По
i
A может быть построен многочлен )(x
ω
. Узлы квадра-
турной формулы найдем, если приравняем нулю многочлен )(x
ω ;
корни многочлена и будут узлами
k
x . По смыслу изучаемой задачи
узлы
k
x
должны быть различными, действительными и принадле-
жать отрезку интегрирования. Таким образом, возможно построение
формулы (1), верной для многочленов
ω(x), коэффициенты
i
A кото-
рого найдены указанным способом.
2. Интегралы с постоянной весовой функцией
Рассмотрим случай, когда весовая функция постоянна. Отрезок
интегрирования приведем к отрезку ]1,1[
−
и рассмотрим квадратур-
ную формулу
∫
∑
−
=
≈
1
1
1
)()(
n
k
k
xfcdxxf . (1)
Коэффициент c и узлы
k
x
выберем так, чтобы формула (1) дава-
ла точный результат для многочленов степени n . Коэффициент c
определится из требования, чтобы формула (1) была точной для
1
=f и будет иметь значение 
   В алгебре многочленов хорошо известны соотношения между
элементарными симметрическими функциями Ai (i = 1, 2, K, n) и
функциями s k ( k = 1, 2, K , n) . Они даются следующими равенства-
ми, которые часто называют соотношениями Ньютона:
                                  s1 + A1 = 0,
                             s 2 + A1s1 + 2 A2 = 0,
                                                                (6)
                             . . . . . . . .
                   s n + A1s n −1 + A2 s n − 2 + K + nAn = 0.
   Система уравнений позволяет последовательно найти все коэф-
фициенты Ai (i = 1, 2, K , n) по известным значениям sk из систе-
мы (3). По Ai может быть построен многочлен ω(x) . Узлы квадра-
турной формулы найдем, если приравняем нулю многочлен ω(x) ;
корни многочлена и будут узлами xk . По смыслу изучаемой задачи
узлы xk должны быть различными, действительными и принадле-
жать отрезку интегрирования. Таким образом, возможно построение
формулы (1), верной для многочленов ω(x), коэффициенты Ai кото-
рого найдены указанным способом.

     2. Интегралы с постоянной весовой функцией
   Рассмотрим случай, когда весовая функция постоянна. Отрезок
интегрирования приведем к отрезку [−1, 1] и рассмотрим квадратур-
ную формулу
                            1               n
                            ∫ f ( x)dx ≈ c ∑ f ( xk ) .         (1)
                           −1             k =1

   Коэффициент c и узлы xk выберем так, чтобы формула (1) дава-
ла точный результат для многочленов степени n . Коэффициент c
определится из требования, чтобы формула (1) была точной для
 f = 1 и будет иметь значение




                                   75

Страницы