Квадратурные формулы. Добрынина Н.Ф. - 77 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

77
Все коэффициенты
k
A нечетных номеров равны нулю и в много-
член )(xω будут входить либо только четные, либо только нечетные
степени
x
:
K+++=ω
−− 4
4
2
2
)(
nnn
xAxAxx .
Корни )(x
ω
, являющиеся узлами формулы (1), располагаются на
отрезке ]1,1[
−
симметрично относительно точки 0
=
x . В частности,
если n есть число нечетное, то один из корней обязательно равен
нулю.
Отметим еще один факт, касающийся точности квадратурных
формул рассматриваемого вида. Пусть
n
– число четное:
mn 2=
.
Соответствующие значения
k
x должны удовлетворять системе
.
1
........
,0
21
21
+
=+++
=
+
+
+
n
n
xxx
xxx
n
n
nn
n
K
K
Ввиду того, что 121
+
=
+ mn есть число нечетное, а узлы
k
x
рас-
положены симметрично относительно 0
=
x , то будет выполняться
равенство
0
11
2
1
1
=+++
+++ n
n
nn
xxx K ,
откуда следует, что формула (1) будет точной не только для много-
членов степени
n , но также для многочленов степени 1
+
n .
Можно построить квадратурные формулы для нескольких первых
значений n . Далее приведена формула Чебышева (1)
[]
∫
−
+++≈
1
1
21
)()()(
2
)(
n
xfxfxf
n
dxxf K
с действительными узлами для 9,7)1(1
=
n :
n = 1 x
1
= 0;
21
2 0,577350;nxx==−=
31 2
3 0,701107, 0;nxx x==−= =
   Все коэффициенты Ak нечетных номеров равны нулю и в много-
член ω(x) будут входить либо только четные, либо только нечетные
степени x :
                      ω( x) = x n + A2 x n − 2 + A4 x n − 4 + K .
   Корни ω(x) , являющиеся узлами формулы (1), располагаются на
отрезке [−1, 1] симметрично относительно точки x = 0 . В частности,
если n есть число нечетное, то один из корней обязательно равен
нулю.
   Отметим еще один факт, касающийся точности квадратурных
формул рассматриваемого вида. Пусть n – число четное: n = 2m .
Соответствующие значения xk должны удовлетворять системе
                              x1 + x2 + K + xn = 0,
                               . . . . . . . .
                                                   n
                            x1 + x2n + K + xnn =
                             n
                                                      .
                                                 n +1
   Ввиду того, что n + 1 = 2m + 1 есть число нечетное, а узлы xk рас-
положены симметрично относительно x = 0 , то будет выполняться
равенство
                          x1n +1 + x2n +1 + K + xnn +1 = 0 ,
откуда следует, что формула (1) будет точной не только для много-
членов степени n , но также для многочленов степени n + 1 .
   Можно построить квадратурные формулы для нескольких первых
значений n . Далее приведена формула Чебышева (1)
                 1
                                2
                 ∫ f ( x) dx ≈ n [ f ( x1) + f ( x2 ) + K + f ( xn )]
                 −1
с действительными узлами для n = 1 (1) 7, 9 :
n=1    x1 = 0;
n = 2 x2 = − x1 = 0,577350;
n = 3 x3 = − x1 = 0, 701107, x2 = 0;


                                         77

Страницы