Квадратурные формулы. Добрынина Н.Ф. - 80 стр.

         b                  n
                               ( n)   (n)
         ∫ p( x) f ( x)dx = ∑ Ak f ( xk ) + Rn ( f ) = Qn ( f ) + Rn ( f ) .    (3)
         a                 k =1
   Квадратурный процесс, определяемый матрицами X и A , схо-
дится для функции f , если
                                      n                    b
              lim Qn ( f ) = lim ∑ Ak( n) f ( xk( n ) ) = ∫ p ( x) f ( x)dx .   (4)
             n →∞           n→∞     k =1                   a
   Сходимость процесса зависит как от свойств интегрируемой
функции f , так и от выбора квадратурных формул, и задача иссле-
дования сходимости в общем виде состоит в выяснении таких связей
между свойствами f и свойствами матриц X и A .
   Две основные проблемы теории сходимости могут быть сформу-
лированы следующим образом.
   1. Заданы матрицы X и A , нужно определить, для какого класса
F функций f можно гарантировать выполнение (4).
   2. Задан класс F функций f и нужно определить, каким усло-
виям должны удовлетворять матрицы X и A , чтобы можно было
гарантировать сходимость квадратурного процесса для всех функций
 f ∈F .
   Ограничимся изучением сходимости для случая конечного отрез-
ка интегрирования.
         2. Сходимость квадратурного процесса
   Изучим квадратурный процесс (3) разд. 1, определяемый матри-
цей узлов (1) разд. 1 и матрицей коэффициентов (2) разд. 1. Вес p (x)
может быть любой суммируемой функцией. Пусть задан некоторый
класс F функций f . Нужно выяснить, каким условиям нужно под-
чинить X и A для того, чтобы квадратурный процесс сходился для
всех функций заданного класса.
   Теорема 1. Для того, чтобы квадратурный процесс (3) разд. 1 схо-
дился для всякой функции f , непрерывной на отрезке [a, b] , необ-
ходимо и достаточно выполнение двух условий:


                                          80