Квадратурные формулы. Добрынина Н.Ф. - 81 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

81
1)
процесс сходится для всякого многочлена;
2)
существует число
K
такое, что при K,2,1
=
n выполняется
неравенство
KA
n
k
n
k
≤
∑
=1
)(
. (1)
Доказательство
. Если на множестве функций, непрерывных на
],[ ba , определить норму следующим способом:
)(max
],[
xff
ba
=
, то
такое множество можно рассматривать как линейное нормированное
пространство
C
типа Банаха. Квадратурная сумма
∑
=
=
n
k
n
k
n
k
n
xfAfQ
1
)()(
)()( и интеграл
∫
=
b
a
dxxfxpfI )()()( есть два ли-
нейных функционала, определенных на C . Значения )( fQ
n
и )( fI
принадлежат числовому пространству, которое также принадлежит
пространству типа Банаха.
К задаче выяснения условий сходимости квадратурного процесса
∞→→ nfIfQ
n
),()(
, может быть применена теорема Банаха о
сходимости последовательности линейных операторов. Необходи-
мым и достаточным условием сходимости является выполнение двух
требований: 1) сходимость на множестве элементов, всюду плотном
в пространстве, где определены операторы, и 2) ограниченность в
совокупности норм операторов.
За множество, всюду плотное в C , по теореме Вейерштрасса о
возможности сколь угодно
точного равномерного приближения вся-
кой непрерывной функции многочленами может быть принято мно-
жество алгебраических многочленов, и первым требованием в рас-
сматриваемой задаче будет требование сходимости квадратурного
процесса для всякого многочлена.
Норма функционала )( fQ
n
имеет значение
∑∑
==
≤
==
n
k
n
k
n
k
n
k
n
k
f
n
AxfAQ
1
)(
1
)()(
1
)(sup . 
   1) процесс сходится для всякого многочлена;
   2) существует число K такое, что при n = 1, 2, K выполняется
неравенство
                                         n
                                           ( n)
                                        ∑ Ak ≤ K .                               (1)
                                        k =1
    Доказательство. Если на множестве функций, непрерывных на
[a, b] , определить норму следующим способом: f = max f ( x) , то
                                                                    [ a,b ]
такое множество можно рассматривать как линейное нормированное
пространство    C     типа    Банаха.    Квадратурная    сумма
           n                                        b
Qn ( f ) = ∑ Ak( n) f ( xk( n) ) и интеграл I ( f ) = ∫ p ( x ) f ( x)dx есть два ли-
          k =1                                      a
нейных функционала, определенных на C . Значения Qn ( f ) и I ( f )
принадлежат числовому пространству, которое также принадлежит
пространству типа Банаха.
   К задаче выяснения условий сходимости квадратурного процесса
Qn ( f ) → I ( f ), n → ∞ , может быть применена теорема Банаха о
сходимости последовательности линейных операторов. Необходи-
мым и достаточным условием сходимости является выполнение двух
требований: 1) сходимость на множестве элементов, всюду плотном
в пространстве, где определены операторы, и 2) ограниченность в
совокупности норм операторов.
   За множество, всюду плотное в C , по теореме Вейерштрасса о
возможности сколь угодно точного равномерного приближения вся-
кой непрерывной функции многочленами может быть принято мно-
жество алгебраических многочленов, и первым требованием в рас-
сматриваемой задаче будет требование сходимости квадратурного
процесса для всякого многочлена.
   Норма функционала Qn ( f ) имеет значение

                                  n                     n
                    Qn = sup ∑ Ak( n ) f ( xk( n ) ) = ∑ Ak( n) .
                            f ≤1 k =1                k =1



                                             81

Страницы