Квадратурные формулы. Добрынина Н.Ф. - 83 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

83
f есть многочлен, то, когда
n
станет больше степени многочлена,
будет выполняться равенство
()
∫
=
b
a
n
dxfpfQ .
Выясним условия сходимости квадратурного процесса в классах
дифференцируемых функций. Введем кусочно-постоянную функцию
∑
=
−=
n
k
n
k
n
k
n
xxEAxF
1
)()(
0
)()(
. Наряду с ней будем рассматривать пер-
вообразные функции любого порядка
r
, удовлетворяющие началь-
ным условиям )1,,1,0(0)(
)(
−== rjaF
j
nr
K :
∫
∑
−
−=
−
−
=
=
−
x
a
r
n
k
n
k
n
k
n
k
r
nnr
r
xx
xxEAdt
r
tx
tFxF
!
)(
)(
)!1(
)(
)()(
)(
1
)()(
1
0
. (2)
Теорема 4. Для того, чтобы квадратурный процесс (1) при ∞→n
сходился для всякой функции
],[ baCf
r
∈
, необходимо и достаточно
выполнение условий:
1)
процесс сходится для многочлена;
2)
полные вариации первообразных функций порядка r ),(xF
nr
K,2,1=n , ограничены в совокупности:
MtFVar
nr
b
a
≤)(.
Доказательство
. Если ],[ baCf
r
∈
при 1≥
r
, разлагая f по фор-
муле Тейлора около точки b , можно представить функцию в форме
∑
∫
−
=
−
=
−
−
+−=
1
0
1
)(
)(
)!1(
)(
)()(
!
)(
)(
r
i
r
x
b
ri
i
dt
r
tx
tfbx
i
bf
xf
∑
∫
−
=
−
−
−
−−+−=
1
0
1
)(
)(
)!1(
)(
)()()1()(
!
)(
r
i
b
a
r
rri
i
dt
r
xt
xtEtfbx
i
bf
. 
f есть многочлен, то, когда n станет больше степени многочлена,
                                                        b
будет выполняться равенство Qn ( f ) = ∫ p f dx .
                                                        a
  Выясним условия сходимости квадратурного процесса в классах
дифференцируемых функций. Введем кусочно-постоянную функцию
           n
Fn0 ( x) = ∑ Ak( n ) E ( x − xk( n) ) . Наряду с ней будем рассматривать пер-
          k =1
вообразные функции любого порядка r , удовлетворяющие началь-
              ( j)
ным условиям Fnr   (a) = 0 ( j = 0, 1, K , r − 1) :

                  x
                             ( x − t ) r −1       n                         ( x − xk( n) ) r
     Fnr ( x) = ∫ Fn0 (t )                  dt = ∑ Ak( n) E ( x − xk( n ) )                  .   (2)
                  a            (r − 1)!          k =1                             r!

   Теорема 4. Для того, чтобы квадратурный процесс (1) при n → ∞
сходился для всякой функции f ∈ Cr [a, b] , необходимо и достаточно
выполнение условий:
   1) процесс сходится для многочлена;
   2) полные вариации первообразных функций порядка r Fnr (x),
n = 1, 2, K , ограничены в совокупности:
                                       b
                                     Var Fnr (t ) ≤ M .
                                       a

  Доказательство. Если f ∈ C r [a, b] при r ≥ 1 , разлагая f по фор-
муле Тейлора около точки b , можно представить функцию в форме
                      r −1 f ( i ) (b )               x
                                                                     ( x − t ) r −1
               f ( x) = ∑               ( x − b ) i + ∫ f ( r ) (t )                dt =
                      i =0      i!                    b                ( r − 1 )!
          r −1 f ( i ) (b )                     b
                                                                         (t − x) r −1
        = ∑                 ( x − b) i + (−1) r ∫ f ( r ) (t ) E (t − x)              dt .
          i =0      i!                          a                          (r − 1)!




                                               83

Страницы