Квадратурные формулы. Добрынина Н.Ф. - 85 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

85
1.
Функционал )(
)(* r
n
fR должен стремиться к нулю на множест-
ве элементов, всюду плотном в
C . Но требование
∞→→ nfR
r
n
,0)(
)(*
, когда
)(r
f есть полином любой степени, со-
вместно с формулой (4) эквивалентно тому, что квадратурный про-
цесс должен сходиться для всякого многочлена.
2.
Нормы функционалов
)(
)(* r
n
fR
, K,2,1
=
n , должны быть ог-
раничены в совокупности:
∫∫
=≤−
−
−
=
−
−
b
a
t
a
rn
r
n
nLdttFdx
r
xt
xpR K,2,1,)(
)!1(
)(
)(
1,
1
*
.
Заметив, что
()
()
∫∫
−
−
−
b
a
t
a
r
dtdx
r
xt
p
!1
1
не зависит от n , можно сказать,
что ограниченность норм
*
n
R
равносильна ограниченности сово-
купности интегралов от
)(
1,
tF
rn −
:
∫
=≤
−
b
a
rn
nMdttF K,2,1,)(
1,
.
Так как
)()(
1,,
tFtF
dt
d
rnrn −
= , последние неравенства означают
MtF
nr
b
a
≤)(Var , K,2,1
=
n .
Можно убедиться в том, что все изложенное остается верным и в
случае 0
=
r . Теорема 4 доказана.
Контрольные вопросы
1. Понятие сходимости квадратурного процесса.
2.
Сформулировать две основные проблемы сходимости.
3.
Какие два условия должны выполняться для того, чтобы квад-
ратурный процесс сходился для всякой непрерывной на конечном
отрезке функции? 
  1. Функционал Rn* ( f ( r ) ) должен стремиться к нулю на множест-
ве элементов, всюду плотном в                 C . Но требование
Rn* ( f ( r ) ) → 0, n → ∞ , когда f (r ) есть полином любой степени, со-
вместно с формулой (4) эквивалентно тому, что квадратурный про-
цесс должен сходиться для всякого многочлена.
   2. Нормы функционалов Rn* ( f ( r ) ) , n = 1, 2, K , должны быть ог-
раничены в совокупности:
              b t
                             (t − x) r −1
       Rn* = ∫ ∫ p( x)                    dx − Fn ,r −1 (t ) dt ≤ L, n = 1, 2, K .
              a a
                              (r − 1)!
                    bt
   Заметив, что ∫ ∫ p
                             (t − x )r −1 dx dt   не зависит от n , можно сказать,
                    aa         (r − 1)!
что ограниченность норм Rn*                 равносильна ограниченности сово-

купности интегралов от Fn, r −1 (t ) :
                         b
                         ∫ Fn, r −1 (t ) dt ≤ M , n = 1, 2, K .
                         a
             d
   Так как      Fn, r (t ) = Fn, r −1 (t ) , последние неравенства означают
             dt
                              b
                             Var Fnr (t ) ≤ M , n = 1, 2, K .
                              a
   Можно убедиться в том, что все изложенное остается верным и в
случае r = 0 . Теорема 4 доказана.
                         Контрольные вопросы
   1. Понятие сходимости квадратурного процесса.
   2. Сформулировать две основные проблемы сходимости.
   3. Какие два условия должны выполняться для того, чтобы квад-
ратурный процесс сходился для всякой непрерывной на конечном
отрезке функции?



                                            85

Страницы