Квадратурные формулы. Добрынина Н.Ф. - 84 стр.

UptoLike

ВУЗ: 

ПГУ | Пенза

Составители: 

Рубрика: 

84
Наоборот, каковы бы ни были числа
)(
)(
bf
i
, непрерывная на от-
резке ],[ ba функция )(
)(
tf
r
, )(xf , определенная такой формулой,
принадлежит классу ],[ baC
r
.
Остаток квадратуры
)( fR
n
вычисляется по следующей формуле,
характерной для класса
],[ baC
r
:
∑
−
=
+−=
1
0
)(
}[(
!
)(
)(
r
i
i
n
i
n
bxR
i
bf
fR
=
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−−
−
−
−−+
∫∫
∑
−
=
−
dt
r
xt
xtEAdx
r
xt
xtExptf
b
a
b
a
r
n
k
n
k
n
k
n
k
r
rr
)!1(
)(
)(
)!1(
)(
)()()()1(
1
)(
1
)()(
1
)(
∑
∫∫
−
=
−
−
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
−+−=
1
0
1,
1
)(
)(
.)(
)!1(
)(
)()()1(])[(
!
)(
r
i
b
a
rn
t
a
r
rri
n
i
dttFdx
r
xt
xptfbxR
i
bf
(3)
Сходимость квадратурного процесса, ввиду независимости пара-
метров формулы )1,,1,0()(
)(
−= ribf
i
K и )(
)(
tf
r
, равносильна
тому, что при
∞→n
1,,1,0,0])[( −=→− ribxR
i
n
K (4)
и
0)(
)!1(
)(
)()()(
1,
1
)()(*
→
⎥
⎥
⎦
⎤
⎢
⎢
⎣
⎡
−
−
−
=
∫∫
−
−
dttFdx
r
tx
xptffR
b
a
rn
t
a
r
rr
n
. (5)
Формулы (4) и (5) означают, что квадратурный процесс должен
сходиться для всякого многочлена степени 1
−
≤
r
.
Условие (5) должно выполняться при любой непрерывной функ-
ции
)(r
f
. Если на множестве функций
)(r
f
ввести норму
)(max
)()(
tff
r
t
r
= , то мы можем его рассматривать как простран-
ство C . По теореме Банаха, стремление )(
)(* r
n
fR к нулю при
∞→n
равносильно выполнению двух требований: 
     Наоборот, каковы бы ни были числа f (i ) (b) , непрерывная на от-
резке [a, b] функция f ( r ) (t ) , f (x) , определенная такой формулой,
принадлежит классу C r [a, b] .
   Остаток квадратуры Rn ( f ) вычисляется по следующей формуле,
характерной для класса C r [a, b] :
                                            r −1 f ( i ) (b )
                               Rn ( f ) = ∑                   Rn [( x − b}i +
                                            i =0      i!
         b            ⎡b                  (t − x) r −1       n                      (t − xk( n) ) r −1 ⎤
+ (−1) r ∫ f (r ) (t )⎢ ∫ p( x) E (t − x)              dx − ∑ Ak( n) E (t − xk(n) )                    ⎥dt =
                      ⎢a                    (r − 1)!       k = 1                        (r − 1)! ⎥
         a            ⎣                                                                                ⎦

    r −1 f (i ) (b)                           b              ⎡t        (t − x) r −1                   ⎤
= ∑                 Rn [( x − b) i ] + (−1) r ∫ f ( r ) (t ) ⎢ ∫ p( x)              dx − Fn, r −1 (t )⎥dt. (3)
    i =0     i!                               a              ⎢⎣a         (r − 1)!                     ⎥⎦
     Сходимость квадратурного процесса, ввиду независимости пара-
метров формулы f (i ) (b) (i = 0, 1, K , r − 1) и f ( r ) (t ) , равносильна
тому, что при n → ∞
                                   Rn [( x − b) i ] → 0, i = 0, 1, K, r − 1                               (4)
и
                                b              ⎡t         ( x − t ) r −1                   ⎤
              Rn* ( f ( r ) ) = ∫ f ( r ) (t ) ⎢ ∫ p ( x)                dx − Fn, r −1 (t )⎥dt → 0 . (5)
                                a              ⎢⎣ a         ( r − 1)!                      ⎥⎦
   Формулы (4) и (5) означают, что квадратурный процесс должен
сходиться для всякого многочлена степени ≤ r − 1 .
   Условие (5) должно выполняться при любой непрерывной функ-
ции        f (r ) . Если на множестве функций                                f (r )    ввести норму
    f ( r ) = max f ( r ) (t ) , то мы можем его рассматривать как простран-
                t
ство C . По теореме Банаха, стремление Rn* ( f ( r ) ) к нулю при n → ∞
равносильно выполнению двух требований:


                                                     84

Страницы