Квадратурные формулы. Добрынина Н.Ф. - 82 стр.

   Выполнение неравенства (1) есть требование ограниченности в
совокупности норм функционалов Qn ( f ) . Теорема доказана.
  Две следующие теоремы являются следствиями теоремы 1.
  Теорема 2. Если все коэффициенты Ak(n) неотрицательны, то для
сходимости квадратурного процесса для данной непрерывной функ-
ции необходимо и достаточно, чтобы он сходился для всякого мно-
гочлена.
   Доказательство. Необходимость условия теоремы очевидна. Дос-
таточность условия видна из того, что для многочлена нулевой сте-
пени f = 1 должна выполняться сходимость
                                    b
                         Qn (1) → ∫ pdx, n → ∞ .
                                    a

  Поэтому значения Qn (1), n = 1, 2, K ограничены: Qn (1) ≤ K . Но
                   n                n
                      ( n)   ( n)
                   ∑ Ak = ∑ Ak = Qn (1) ≤ K ,
                  k =1             k =1

и выполняется не только первое, но и второе условие теоремы 1, и
процесс сходится для всякой непрерывной функции.
   Частный вид теоремы 1 можно сформулировать в виде теоремы 3,
в которой коэффициенты квадратурной формулы ограничены и ко-
нечны.
   Теорема 3. Для сходимости интерполяционного квадратурного
процесса для любой непрерывной функции необходимо и достаточно
выполнение неравенства
                             n
                               ( n)
                            ∑ Ak ≤ K < ∞ .
                            k =1

   Доказательство. Второе условие теоремы 1 является также усло-
вием теоремы 3, первое условие теоремы 1 выполнено, так как если




                                          82