Квадратурные формулы. Добрынина Н.Ф. - 87 стр.

   Приближенно вычисляя интеграл в каждой ячейке по формуле
средних и обозначая через S i , xi , yi соответственно площадь ячейки
и координаты ее центра, получим

                          I = ∫∫ f ( x, y )dxdy ≈ ∑ S i f ( xi , yi ) .                             (2)
                                 G                              i

   Справа стоит интегральная сумма; следовательно, для любой не-
прерывной f ( x, y ) она сходится к значению интеграла, когда диа-
метры всех ячеек стремятся к нулю.
   Оценим погрешность интегрирования. Формула (1) по самому ее
выводу точна для f ( x, y ) = const . Но непосредственной подстанов-
кой легко убедиться, что формула точна и для любой линейной
функции. Действительно, разложим функцию по формуле Тейлора:
                                                 1 2                      1
  f ( x, y ) = f ( x , y ) + ξ f x′ + η f y′ +     ξ f xx′′ + ξ η f xy′′ + η2 f yy′′ + K , (3)
                                                 2                        2
где ξ = x − x , η = y − y , а все производные берутся в центре ячейки.
Подставляя это разложение в правую и левую части квадратурной
формулы (1) и сравнивая их, получим выражение погрешности этой
формулы:
       β b

 R = ∫ ∫ f ( x, y )dxdy − S f ( x , y ) ≈
                                                 1
                                                 24
                                                            [
                                                    S (b − a) 2 f xx′′ + (β − α) 2 f yy′′ . (4) ]
       α a

   Пусть в обобщенной кубатурной формуле (2) стороны прямо-
угольника разбиты соответственно на N и M равных частей. Тогда
погрешность интегрирования (4) для единичной ячейки равна
                  1 ⎡⎛ b − a ⎞                   ⎤
                               2            2
                                      ⎛β−α⎞
                    S i ⎢⎜
                   Ri ≈          ′′ + ⎜
                             ⎟ f xx           ′′ ⎥ .
                                          ⎟ f yy
                  24 ⎢⎝ N ⎠           ⎝ M ⎠      ⎥⎦
                        ⎣                           i
   Суммируя это выражение по всем ячейкам, получим погрешность
обобщенной формулы
       1 ⎡⎛ b − a ⎞                                                      ⎤
                      2                                2
                                             ⎛β − α⎞
                          ∫∫   f xx′′ dxdy + ⎜             ∫∫ f ′′ dxdy⎥⎥ = O( N
                                                                                   −2
  R≈       ⎢⎜     ⎟                                ⎟                yy                  + M −2 ) , (5)
       24 ⎢⎣⎝ N ⎠         G                  ⎝ M ⎠         G             ⎦


                                              87