Квадратурные формулы. Добрынина Н.Ф. - 89 стр.

   Вычисление площади граничной ячейки довольно трудоемко, так
как требует определения положения границы внутри ячейки. Можно
вычислять интегралы по граничным ячейкам более грубо или не
включать их в сумму (2). Погрешность при этом будет O( N −1 ) , и
для хорошей точности потребуется более подробная сетка.
   Метод ячеек переносится на большее число измерений.
          2. Последовательное интегрирование
   Рассмотрим интеграл по прямоугольнику, разбитому сеткой на
ячейки. Его можно вычислить последовательным интегрированием:
                        βb                       β
                   I = ∫ ∫ f ( x, y )dxdy = ∫ F ( y )dy,
                       αa                       α
                                      b
                             F ( y ) = ∫ f ( x, y )dx.
                                      a
   Каждый однократный интеграл легко вычисляется на данной сет-
ке по квадратурным формулам. Последовательное интегрирование
по обоим направлениям приводит к кубатурным формулам, которые
являются прямым произведением одномерных квадратурных формул
              F ( y j ) ≈ ∑ ci f ( xi , y j ), I = ∑ c j F ( y j ),
                         i                           j
или
                     I ≈ ∑ cij f ( xi , y j ), cij = ci c j .   (1)
                         i, j
  Например, если по каждому направлению выбрана обобщенная
формула трапеций, а сетка равномерная, то веса кубатурной форму-
          cij       1 1
лы равны        = 1, , соответственно для внутренних, граничных
         hx h y     2 4
и угловых узлов сетки. Легко показать, что для дважды непрерывно
дифференцируемых функций эта формула имеет второй порядок
точности.
   Вообще говоря, для разных направлений можно использовать
квадратурные формулы разных порядков точности p и q . Тогда


                                       89