Квадратурные формулы. Добрынина Н.Ф. - 88 стр.

т. е. формула имеет второй порядок точности.
    Обобщим формулу ячеек на более сложные области. Легко ви-
деть, что для линейной функции f ( x, y ) формула вида (1) будет
точна в области произвольной формы, если под S подразумевать
площадь области, а под x , y – координаты центра тяжести, вычис-
ляемые по обычным формулам:
                                1                    1
            S = ∫∫ dxdy,   x=       ∫∫ xdxdy,   y=       ∫∫ ydxdy.   (6)
                 G
                                S   G
                                                     S   G

   Практическую ценность такая кубатурная формула имеет только
для областей простой формы, где площадь и центр тяжести легко
определяются, например, для треугольника, правильного много-
угольника, трапеции. Это значит, что обобщенную формулу (2) можно
применять к областям, ограниченным ломаной линией, поскольку та-
кую область всегда можно разбить на прямоугольники и треугольники.
   Для области с криволинейной границей формулу (2) применяют
иным способом. Наложим на область G прямоугольную сетку. Те
ячейки сетки, все точки которых принадлежат области, назовем
внутренними; если часть точек ячейки принадлежит области, а
часть – нет, то назовем ячейку граничной. Площадь внутренней ячей-
ки равна произведению ее сторон. Площадью граничной ячейки бу-
дем считать площадь той ее части, которая попадет внутрь G ; эту
площадь вычислим приближенно, заменяя в пределах данной ячейки
истинную границу области на хорду. Эти площади подставим в фор-
мулу (2) и вычислим интеграл.
   Оценим погрешность формулы (2). В каждой внутренней ячейке
ошибка составляет O( N −2 ) по отношению к значению интеграла по
данной ячейке. В каждой граничной ячейке относительная ошибка
есть O( N −1 ) , так как центр прямоугольной ячейки не совпадает с
центром тяжести ячейки, входящей в интеграл ее части. Но гранич-
ных ячеек примерно в N раз меньше, чем внутренних. Поэтому при
суммировании по ячейкам общая погрешность будет O( N −2 ) , если
функция дважды дифференцируема, а граница области есть кусочно-
гладкая кривая; это означает второй порядок точности.


                                88