Квадратурные формулы. Добрынина Н.Ф. - 90 стр.

главный член погрешности имеет вид R = O(hxp + h yq ) . Многократно
сгущать сетку при этом условии нелегко, если p ≠ q ; поэтому жела-
тельно для всех направлений использовать квадратурные формулы
одинакового порядка точности.
   Можно подобрать веса и положение линий сетки так, чтобы каж-
дая одномерная квадратурная формула была точна для многочлена
максимальной степени, т. е. была формулой Гаусса; тогда
                  1                              1         1
             cij = (b − a )(β − α) γ i γ j , xi = (a + b) + (b − a)ξ i ,
                  4                              2         2             (2)
                         1              1
                    y j = (α + β) + (β − α)ξ j , 1 ≤ i, j ≤ n,
                         2              2
где ξ, γ – нули многочленов Лежандра и соответствующие веса. Эти
формулы рассчитаны на функции высокой гладкости и дают для них
большую экономию в числе узлов по сравнению с более простыми
формулами.
   Метод последовательного интегрирования можно применять к
области произвольной формы с криволинейной границей. Для этого
проведем через область хорды параллельные оси Ox, и на них введем
узлы, расположенные на каждой хорде так, как нам требуется. Пред-
ставим интеграл в виде
                                                 β
                      I = ∫∫ f ( x, y )dxdy = ∫ F ( y ) dy,
                          G                      α
                                      ϕ2 ( y)
                           F ( y) =      ∫ f ( x, y )dx.
                                      ϕ1 ( y )

   Сначала вычислим интеграл по x вдоль каждой хорды по какой-
нибудь одномерной квадратурной формуле, используя введенные
узлы. Затем вычислим интеграл по y ; здесь узлами будут служить
проекции хорд на ось ординат.
                      Контрольные вопросы
   1. Кубатурная формула метода ячеек.
   2. Погрешность кубатурной формулы ячеек.


                                        90