Квадратурные формулы. Добрынина Н.Ф. - 95 стр.

ζ N стремится к гауссову (нормальному) распределению с дисперси-
          1
ей Dζ N = Dη .
          N
   При большом числе испытаний дисперсия ζ N мала, т. е. значение
среднеарифметического с хорошей вероятностью будет близко к ма-
тематическому ожиданию. Поэтому можно положить
                     +∞
                                        1 N
                      ∫ f ( x)ρ( x)dx ≈ N ∑ f (ξi ) ,            (3)
                     −∞                   i =1
где ξ – случайная величина с плотностью распределения ρ(x) . Оце-
ним дисперсию отдельного испытания по формуле (2), заменяя в ней
математические ожидания на суммы типа (3); тогда дисперсия сред-
неарифметического значения приближенно равна
                               ⎧              ⎡1 N        ⎤ ⎫⎪
                                                           2
               1          1 ⎪1 N 2
          Δ N ≈ Df (ξ) ≈       ⎨ ∑ f (ξ i ) − ⎢ ∑ f (ξ i )⎥ ⎬.   (4)
               N         N − 1 ⎪ N i =1       ⎣ N i =1    ⎦ ⎪⎭
                               ⎩
Появление делителя N − 1 вместо N перед фигурной скобкой обос-
новывается в теории вероятностей; правда, это существенно при
очень малых числах испытаний.
   Ответ в методе статистических испытаний носит вероятностный
характер и в принципе может сколь угодно сильно отличаться от
значения интеграла. Однако, согласно свойствам нормального рас-
пределения, с вероятностью 99,7 % ошибка не превосходит 3 Δ N .
Вероятной называют ошибку 0,675 Δ N , соответствующую 50%-й
вероятности; реальная ошибка обычно близка к этой величине –
примерно вдвое больше или меньше. Таким образом , выполняя рас-
четы по формулам (3)–(4), мы одновременно с интегралом получаем
неплохую оценку ошибки.
   При увеличении числа испытаний N погрешность ответа будет
                       1
убывать примерно как       . Поэтому на точность выше 0,1 % в ме-
                        N
тоде статистических испытаний трудно рассчитывать. В сложных


                                 95