Квадратурные формулы. Добрынина Н.Ф. - 97 стр.

   Второй способ легко обобщается на многомерные интегралы
I = ∫ f ( x, y, z )dxdydz по единичному кубу G (для определенности
    G
мы выбираем трехмерное пространство), если 0 ≤ f ( x, y, z ) ≤ 1 внут-
ри этого куба. Рассмотрим куб в четырехмерном пространстве
 x, y, z , u и случайные равномерно распределенные в нем точки; коор-
динатами этих точек будут последовательные четверки случайных
чисел γ 4i + k , k = 0, 1, 2, 3 . Доля случайных точек, удовлетворяющая
неравенству γ 4i + 3 < f ( γ 4i , γ 4i +1 , γ 4i + 2 ) , даст приближенное значе-
ние искомого интеграла. Чем больше число измерений, тем более
жесткими тестами нужно проверять качество псевдослучайных чи-
сел, используемых в расчете.
    Для гладких функций можно получить более хорошие результаты
при несложном построении сетки, если выбрать число узлов N = k m ,
где m – число измерений. Разобьем единичный куб на N кубиков со
               1
стороной , в каждом кубике выберем одну случайную точку и вы-
               k
числим по этим точкам интеграл. Дисперсия этого метода есть
                1 1                                                  1
            −    −                                               −
Δ N = O( N      2 m),
                  т. е. она меньше оценки O( N     получающейся      2),
при обычном применении метода Монте-Карло.
   Поскольку дисперсия второго способа велика, первый способ ста-
тистического вычисления интегралов точнее. Пусть ρ( x, y, z ) ≥ 0
есть многомерная плотность распределения некоторой случайной
величины. Тогда аналогично одномерному случаю,
                                                             1 N
        ∫ f ( x, y, z )ρ( x, y, z )dxdydz = Mf (ξ, η, ζ) ≈      ∑ f (ξi , ηi , ζ i ).   (1)
        G                                                    N i =1

   Как найти случайную трехмерную точку с заданным распределе-
нием плотности по тройке равномерно распределенных случайных
чисел γ 3i , γ 3i +1 , γ 3i + 2 ? Для этого надо свести разыгрывание много-
мерной плотности к последовательным разыгрываниям одномерных
случайных величин с плотностями R ( x), R( y ), R( z ) .


                                          97