Краткий курс евклидовой дифференциальной геометрии. Долгарев А.И. - 10 стр.

       r       r r    r
(L.5) br+ a = a + b ;
              r t ∈rR ; r r r
(L.6) ta rвектор,
(L.7) 1 ⋅ a = a , ( −1) a = − a , 0a = o ;
              r r r
(L.8) (t + s )a = ta + sa ;
           r    r     r       r
(L.9) t ( a + b ) = ta + tb ;
            r          r
(L.10) s (ta ) = ( st )a .
       Операция + сложения векторов является внутренней; операция ум-
ножения векторов на числа является внешней, ее обозначение ω R (+ ) , в
котором учитывается, что свойства внешней операции связаны со свойст-
вами внутренней операции. Обозначение линейного пространства:
L = (L,+, ω R (+ )) . Относительно внутренней операции линейное про-
странство является абелевой, т.е. коммутативной группой, таким образом,
(L,+) – абелева группа. (Аксиомы (L.1) – (L.5) определяют группу.)
                    r r       r
     Пусть a1 , a2 ,..., am векторы, t1 , t 2 ,..., t m числа. Применяем линейные
операции:
                                r        r              r
                              t1a1 + t 2 a2 + ... + t m am ,
результатом операций является вектор, обозначим его:
                             r        r              r       r
                           t1a1 + t 2 a2 + ... + t m am = b .
           r
Вектор b называется линейной комбинацией данного множества векторов
r r           r
a1 , a2 ,..., am , числа t1 , t 2 ,..., t m называются коэффициентами линейной
                          r       r
комбинации. Если b = o и существуют коэффициенты ti , i = 1,2,..., m , от-
                           r r           r
личные от нуля, то векторы a1 , a2 ,..., am называются линейно зависимыми.
                                  r   r
Если из равенства b = o следует ti = 0 для всех i , то векторы
r r           r
a1 , a2 ,..., am называются линейно независимыми.
      Возможно, что для линейного пространства L выполняются еще ак-
сиомы размерности:
(L.11) в линейном пространстве существует n линейно независимых век-
торов;
(L.12) всякие n + 1 векторов линейного пространства являются линейно
зависимыми.
В этом случае линейное пространство L называется n − мерным и обозна-
чается Ln . Число n называется размерностью линейного пространства.
                                                       r r       r
     1.4. КООРДИНАТЫ ВЕКТОРОВ. Пусть e1 , e2 ,..., en n − мерные
                             r
линейно независимые векторы, a произвольный вектор. Множество n + 1




                                             10